Доказательство

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, способ обоснования истинности утверждения или системы утверждений путём их логического вывода из других истинных, доказанных или обоснованных утверждений. Если в теоретическом доказательстве для этого применяются только истинные посылки, то в практическом доказательстве допускается употребление других аргументов: в опытных науках - данных наблюдений и экспериментов, в правосудии - показаний очевидцев и вещественных доказательств и т.д.

В доказательстве обычно выделяют: 1) посылки, аргументы или доводы, служащие основанием доказательства; 2) правила дедукции, или логического вывода, с помощью которых происходит демонстрация тезиса, то есть перенос истинности посылок на заключение; 3) тезис. Классификация доказательства может проводиться по разным основаниям: по цели доказательства различают теоретические и практические доказательства; по способу демонстрации тезиса - прямые и косвенные. В прямых доказательствах его тезис непосредственно выводится из посылок, в косвенных - путём опровержения антитезиса; по используемым логическим законам и средствам доказательства выделяют конструктивные и неконструктивные, эффективные и неэффективные. В конструктивных доказательствах не используется исключённого третьего закон, в неэффективных доказательствах существование объекта обосновывается доказательством его непротиворечивости.

Исторически первыми были доказательства, опирающиеся на непосредственные суждения опыта (факты, данные наблюдений, практики). Дедуктивные доказательства впервые стали использоваться в математике, где оперируют абстрактными объектами. Однако некоторые утверждения в рамках определённой теории принимаются без доказательства. Такие утверждения называются аксиомами или постулатами. Аксиоматический метод даёт возможность систематизировать доказательство в виде цепочки логических выводов, в которой каждое заключение является либо аксиомой, либо следует из них по правилам дедукции. Последнее заключение в этой цепочке является доказательством.

Тенденция к строгости доказательства в математике, возникшая в связи с анализом её оснований в работах Д. Гильберта и др., привела к ужесточению требований к строгости доказательства. С этой целью при доказательстве не только перечисляют все аксиомы теории, но и точно формулируют правила вывода теорем из аксиом. Дальнейший шаг в формализации доказательства состоит в отвлечении от конкретного содержания утверждений, фигурирующих в доказательстве, и представлении их в виде формул определённого символического языка. Некоторые формулы затем выбираются в качестве аксиом, а определённые преобразования - как правила вывода. Таким образом, содержательное доказательство превращается в формальное доказательство, однако содержательный анализ доказательства продолжает сохранять приоритет над формальным. Свойства самой формальной системы описываются на метаязыке, составляющем часть естественного языка, а в метатеории используются только конкретные, содержательные способы рассуждений. Кроме того, даже такая сравнительно простая содержательная теория, как арифметика целых чисел, не может быть полностью формализована (как это было доказано К. Гёделем в 1931). Любое истинное доказательство зависит от обоснованности своих аргументов и правил логического вывода, которые не остаются неизменными, а уточняются и изменяются с развитием науки и общественной практики. Поэтому не существует никакого понятия абсолютного доказательства, годного для всех времён и всех сфер познавательной и практической деятельности.

Лит.: Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М., 1948; Новиков П. С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. М., 1977; Такеути Г. Теория доказательства. М., 1978; Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984.