Безгранично делимые распределения
БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, класс распределений вероятностей, связанный с описанием, так называемых однородных случайных процессов с независимыми приращениями. Так называют процессы Х(τ), τ ≥ 0, удовлетворяющие требованиям:
1) Х(0)=0;
2) распределение вероятностей приращения Χ(τ2) - X(τ1), τ2 > τ1, зависит только от τ2 -τ1;
3) при τ1 ≤ τ2 ≤ ... τk (k= 3, 4,5, ...) разности X(τ2) - Χ(τ1), Χ(τ3) - Χ(τ2), ..., X(τk) - X(τk-1) являются взаимно независимыми случайными величинами;
4) для любого ε > 0 при τ —> 0 вероятность Ρ(|Χ(τ)| >ε) стремится к нулю. Примерами таких процессов могут служить винеровский процесс и пуассоновский процесс. При любом τ > 0 характеристическая функция f(t) случайной величины X(τ) является n-й степенью некоторой другой характеристической функции (при n = 2, 3, 4, ...). Если какая-либо характеристическая функция f(t) обладает последним свойством, то её называют безгранично делимой (и, соответственно, распределение вероятностей называется безгранично делимым). Логарифм In f(t) для таких функций задаётся так называемыми каноническими представлениями.
Важная роль безгранично делимого распределения в предельных теоремах теории вероятностей связана с тем, что эти и только эти распределения могут быть предельными для сумм независимых случайных величин, подчинённых требованию так называемой асимптотической пренебрегаемости (смотри Серий схема).
Важным частным случаем безгранично делимого распределения являются устойчивые распределения.
Лит.: Хинчин А. Я. Предельные законы для сумм независимых случайных величин. М.; Л., 1938; Гнеденко Б. В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.; Л., 1949; Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М., 1987.
Ю. В. Прохоров.