Дескриптивная теория множеств

ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ, раздел множеств теории, изучающий строение точечных множеств исходя из их построения с помощью операций объединения, пересечения, проекции и пр. из более простых точечных множеств. Развитие дескриптивной теории множеств началось с изучения и классификации, так называемых борелевских множеств (ß-множеств) в трудах французских математиков Р. Бэра и А. Лебега, связанных с классификацией разрывных функций (1905). Борелевские множества определяются как множества, которые могут быть построены, исходя из замкнутых множеств, применением операций объединения и пересечения в любых комбинациях, но каждый раз эти операции применяются к счётному или конечному числу множеств. Лебег показал, что эти множества, и только они, могут быть получены как множества точек, в которых входящая в классификацию Бэра действительная функция f(х) обращается в нуль или, более общо, удовлетворяет условию вида а < f(х) ≤ b. Дальнейшее развитие дескриптивной теории множеств было осуществлено преимущественно российскими математиками, особенно московской школой, созданной Н. Н. Лузиным. П. С. Александров доказал (1916) теорему о том, что всякое несчётное борелевское множество имеет мощность континуума. Аппарат этого доказательства был применён М. Я. Суслиным для построения теории так называемых А-множеств, охватывающих как частный случай борелевские множества. Оказалось, что А-множества совпадают с непрерывными образами множества всех иррациональных чисел. Лузин называл их аналитическими множествами. Теория А-множеств в течение нескольких лет оставалась в центре дескриптивной теории множеств, вплоть до того времени, как Лузин пришёл к общему определению проективных множеств, которые могут быть получены, отправляясь от множества всех иррациональных чисел при помощи повторного применения операции вычитания и непрерывного отображения. Важный вклад в теорию А-множеств внесли работы российских математиков П. С. Новикова и Л. В. Келдыш. Дескриптивная  теория множеств тесно связана с исследованиями по основаниям математики (в частности, с такими вопросами, как эффективная определимость математических объектов и разрешимость математических проблем).

Лит.: Лузин Н. Н. Лекции об аналитических множествах и их приложениях. М., 1953; Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М., 1970.