Динамика (раздел механики)

ДИНАМИКА (от греческого δύναμις - возможность, сила), раздел механики, посвящённый изучению изменения характеристик движения материальных тел под действием приложенных к ним сил. Основы динамики свободной материальной точки заложены в начале 17 века Г. Галилеем, который рассмотрел падение тел под действием силы тяжести и сформулировал закон инерции. В 1687 году И. Ньютон дал чёткую формулировку трёх основных законов динамики. В 18 веке существенный вклад в постановку и решение общих задач динамики внесли Л. Эйлер, Ж. Д’Аламбер и Ж. Лагранж.

Динамика  - важная составляющая математического естествознания, сформировавшая правила и приёмы построения механико-математических моделей движения механического. Для описания движения объектов реального мира применяют различные модели, в которых объекты принимают за материальную точку, твёрдое тело и т. п.

Динамика материальной точки. Динамика, основанная на положениях Галилея и Ньютона, называется классической или ньютоновской. Она описывает движение объектов, размерами которых можно пренебречь (материальных точек), со скоростями много меньшими скорости света (движение микрочастиц рассматривается в квантовой механике, движение со скоростями, близкими к скорости света, - в релятивистской механике). В классической динамике аксиоматически вводятся понятия неподвижного пространства и абсолютного времени, одинакового во всех точках пространства и не зависящего от выбора конкретной системы координат.

Классическая динамика базируется на трёх основных законах - Ньютона законах механики. Первый из них, называемый также законом инерции, вводит понятие инерциальной системы отсчёта, в которой материальная точка покоится или движется прямолинейно и равномерно, если на неё не действуют другие тела или влияние этих тел скомпенсировано. Меру механического действия одного тела на другое называют силой. Второй закон устанавливает, что действие силы F на материальную точку массой m вызывает ускорение w точки, определяемое равенством

w = F/m (1)

Третий закон динамики устанавливает, что при взаимодействии двух материальных точек возникает пара сил, равных по величине и противоположных по направлению (смотри Действия и противодействия закон). Если к телу приложено несколько сил, то в соответствии с принципом независимости действия сил каждая из них сообщает телу такое же ускорение, какое она сообщила бы, если бы действовала одна. Поэтому в качестве F в уравнении (1) рассматривается равнодействующая сил, действующих на тело.

Динамика  решает 2 класса задач: прямые и обратные. Прямая задача динамики состоит в определении движения точки, происходящего под действием заданных сил. Сила F считается заданной, если известна её зависимость от времени t и векторов r и v, определяющих положение и скорость материальной точки:

F = F(r, v, t) (2)

В этом случае равенство (1) превращается в дифференциальное уравнение движения точки. Его решение описывает зависимость вектора r от времени и начальных условий:

r = r(t, r₀, v₀) (3)

Примером подобной задачи может служить задача по определению траектории движения снаряда по его начальной скорости (силы тяжести и сопротивления воздуха считаются известными).

Обратная задача динамики состоит в определении силы, обеспечивающей заданное движение: по семейству законов движения, описываемых выражением (3), требуется восстановить зависимость силы (2) от перечисленных аргументов. Классическим примером решения этой задачи является открытие И. Ньютоном закона всемирного тяготения. Рассматривая Кеплера законы движения планет, Ньютон пришёл к выводу, что эти движения происходят под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от Солнца до планеты и не зависящей ни от времени, ни от скоростей движения планет.

В ряде задач динамики удобно использовать различные динамические меры движения точки: импульс (количество движения) К = mv, момент импульса (кинетический момент) относительно начала координат G = r х mv, кинетическую энергию Т =mv²/2. При помощи этих мер уравнение (1) можно записать в виде закона изменения импульса dK/dt = F, или закона изменения момента импульса dG/dt = r х F = М, где М - момент силы относительно начала координат, или закона изменения энергии dT/dt = Fv = N, где N - мощность силы F.

Динамика системы свободных точек. Движение системы свободных материальных точек с массами m_i можно описать совокупностью уравнений вида (1), вводя суммарные меры движения: импульс системы точек К = ∑m_iv_i = mv_c, где m - общая масса системы, v_c - скорость центра масс системы; главный кинетический момент системы G = ∑r_i х m_iv_i; кинетическая энергия Т = 1/2∑m_iv²_i. Соотношения между суммарными мерами движения и силами, приложенными к точкам, называются общими теоремами динамики. К этим теоремам относятся следующие.

1) Теорема об изменении импульса системы: изменение импульса системы за любой промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов, действующих на систему внешних сил. Следствиями этой теоремы являются закон сохранения импульса системы и теорема о движении центра масс системы.

2) Теорема об изменении главного кинетического момента системы: производная по времени от главного кинетического момента системы относительно любого неподвижного центра (или оси) равна сумме моментов действующих внешних сил относительно того же центра (или оси). Следствием данной теоремы является закон сохранения главного кинетического момента системы при равенстве нулю суммы моментов внешних сил.

3) Теорема об изменении кинетической энергии системы: изменение кинетической энергии системы при любом её перемещении равняется сумме работ всех приложенных сил на том же перемещении. Для случая, когда все приложенные силы потенциальны, из теоремы вытекает закон сохранения механической энергии.

Динамика систем со связями. В моделях, описывающих различные движения, происходящие в природе и технике, объекты рассматриваются как системы материальных точек и твёрдых тел, соединённых связями механическими. В этих случаях в задачу динамики входит определение не только закона движения системы связанных точек и тел, но и сил реакции связей. Последние добавляются в уравнение (1), записываемое для каждой точки системы. Для систем с так называемыми идеальными связями (для которых сумма элементарных работ всех реакций при любом возможном перемещении системы равна нулю) Ж. Д’Аламбер и Ж. Лагранж разработали общие методы составления уравнений движения, не содержащих реакций связей (смотри Д’Аламбера принцип и Д’Аламбера - Лагранжа принцип). Эти методы приводят к несколько иной формулировке общих теорем динамики (добавляются условия, налагаемые на связи), а сохранения законы динамических мер приобретают математически строгую форму интегралов уравнений движения.

Кинетическая энергия - скалярная величина, обладающая определённой универсальностью. Ж. Лагранж ввёл понятие обобщённых координат и записал кинетические энергию в виде функции от обобщённых скоростей и обобщённых координат. Используя эту функцию, Лагранж вывел новую форму уравнений движения механических голономных систем (смотри Лагранжа уравнения, Гамильтона уравнения, Вариационные принципы механики). Изучением свойств этих уравнений и их решений занимается аналитическая механика, методы которой нашли широкое применение в различных областях физики.

Динамика относительного движения. Многие задачи механики сводятся к изучению движения одного объекта относительно другого, с которым нельзя связать инерциальную систему координат (например, движение тела относительно вращающейся Земли). В этом случае уравнение относительного движения материальной точки можно свести к виду (l), если к числу сил F добавить силы инерции: переносную F_е = -mw_е и кориолисову F_c = -mw_c, где w_e, w_c - соответственно переносное и кориолисово ускорения. Примерами задач динамики относительного движения могут служить задачи экспериментального доказательства вращения Земли (падение тела на вращающейся Земле с отклонением к востоку, маятник Фуко), задачи описания движения космонавта относительно космической станции и др. На эффектах относительного движения основан предложенный Дж. Уаттом центробежный регулятор угловой скорости вращения, используемый в технике.

Динамика твёрдого тела. В этом разделе динамики рассматриваются движения, в которых тело нельзя считать материальной точкой. Простейшая задача такого типа - задача о вращении абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси L.

В этом случае тело имеет одну степень свободы, его положение определяется одной обобщённой координатой - углом поворота φ. Производная φ по времени называется угловой скоростью ω. В рассматриваемой задаче роль уравнения (1) играет уравнение вращения твёрдого тела: Iε = M, где ε - угловое ускорение тела, I - момент инерции тела, М - вращающий момент (момент сил, приложенных к телу) относительно оси L. Если М = 0, то тело совершает вращение с постоянной угловой скоростью (угловое ускорение равно нулю).

Эта задача применяется при моделировании вращающихся элементов машин (роторов, маховиков и т.п.). В технических приложениях динамики твёрдого тела важно учитывать также силы реакции опор, на которых закреплена ось L. Величина этих сил растёт пропорционально квадрату угловой скорости. Для машин с высокооборотными маховиками реакции настолько велики, что способны вызвать деформацию опор или оси и вибрацию машины. Для уменьшения вибраций (например, в автомобильном колесе) производится изменение распределения масс маховика - его балансировка, что достигается приближением центра масс к оси вращения (статическая балансировка) или приближением, так называемой главной оси инерции тела к оси вращения (динамическая балансировка).

Более сложная типовая задача этого раздела динамики - вращение твёрдого тела вокруг неподвижной точки О. Для решения таких задач Л. Эйлер ввёл систему декартовых координат О_хуz, связанную с вращающимся телом. В данной задаче тело имеет 3 степени свободы, а его положение в выбранной системе координат часто определяют 3 углами (Эйлера углами): углом нутации, углом прецессии и углом собственного вращения. Производные по времени от углов Эйлера связаны с проекциями вектора мгновенной угловой скорости вращения тела кинематическими Эйлера уравнениями. Направив оси х, у, z по главным осям инерции тела, Эйлер придал системе динамических уравнений вращения тела компактный и симметричный вид:

I_xdω_x/dt + (I_z - I_y)ω_yω_z = М_х,

I_ydω_y/dt + (I_x - Ι_z)ω_zω_x = M_y,

I_zdω_z/dt + (I_у -I_x)ω_xω_у = М_z.

Здесь I_x, I_y, I_z - главные моменты инерции тела относительно осей О_х, О_у, O_z; Мх, М_у, M_z - моменты сил, приложенных к телу, относительно тех же осей; ω_х, ω_у, ω_z - проекции вектора мгновенной угловой скорости. Т.к. вращающие моменты могут зависеть от времени, углов Эйлера и угловых скоростей, решения этих уравнений известны лишь при частных предположениях о действующих силах и расположении масс в теле.

Задача о движении свободного твёрдого тела, имеющего 6 степеней свободы, обсуждается в связи с проблемами моделирования поступательно-вращательного движения небесных тел, ракет, снарядов и других объектов. Для решения таких задач часто выбирается система координат, связанная с центром масс тела и движущаяся поступательно. Относительно такой системы координат рассматривается вращательное движение тела с применением методов динамики твёрдого тела.

Помимо установления общих методов изучения движения под действием сил в динамике рассматриваются также специальные задачи: динамика гироскопических систем (смотри Гироскоп), теория колебаний механических систем, теория устойчивости движения, механика тел переменной массы, теория удара и др. В результате применения моделей динамики к изучению движения конкретных объектов возник ряд самостоятельных дисциплин: небесная механика, динамика механизмов и машин, динамика полёта летательных аппаратов, динамика транспортных средств и др. С помощью законов динамики изучается также движение сплошной среды - упруго и пластически деформируемых тел, а также жидкостей и газов (смотри Упругость, Пластичность, Гидродинамика, Динамика разреженных газов, Аэродинамика, Газовая динамика).

Лит.: Машиностроение: Энциклопедия. М., 1999. Раздел 1. Т. 1-2: Теоретическая механика. Термодинамика. Теплообмен; Курс теоретической механики / Под редакцией К. С. Колесникова. М., 2000. Т. 1.