Диофантовы уравнения

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ, алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами относительно неизвестных, принимающих целые или рациональные значения. Названы по имени Диофанта, изучавшего такие уравнения. Число неизвестных в диофантовых уравнениях превосходит число уравнений, поэтому их обычно называют неопределёнными. Простейшее диофантово уравнение - уравнение ах + by = 1, где а и b - целые взаимно простые числа. Такое диофантово уравнение имеет бесконечное множество решений: если (х₀, у₀) - одно решение, то пары (х, у), где х = х₀ + bn, у = у₀ – аn, n - любое целое число, также являются решениями, которыми и исчерпывается вся совокупность решений.

Другим типом диофантовых уравнений являются уравнения 2-й степени

где а, b, с, d, е, f -целые числа. Такие уравнения могут иметь бесконечно много решений. Примером может служить уравнение Пелля х² – dy² = 1, где d - натуральное число, не являющееся полным квадратом. Это уравнение имеет бесконечное число решений, которые можно выписать в явном виде.

Изучались диофантовы уравнения вида

где n, а₀, а₁, ..., a_n – целые числа, n ≥ 3. Если многочлен а₀tⁿ + а₁t^n-1 + ... + а_n неприводим в поле рациональных чисел, т. е. не разлагается на множители в этом поле, то соответствующее уравнение не может иметь бесконечно много решений.

Известной задачей теории диофантовых уравнений является Ферма Великая теорема - гипотеза об отсутствии при целых n ≥ 3 нетривиальных целых решений диофантовых уравнений (1)

Доказательство этого утверждения для n = 4 получено Л. Эйлером. Этот результат сводит общий случай к доказательству отсутствия нетривиальных целых решений уравнения (1) при простом n ≥ 3. Великая теорема Ферма была доказана английским математиком Э. Уайлсом (1995). Задачи о целых или рациональных точках на алгебраических многообразиях составляют предмет так называемой диофантовой геометрии.

Лит.: Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. М., 1972; Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. 4-е изд. М., 1983; Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. 3-е изд. М., 1985; Ленг С. Основы диофантовой геометрии. М., 1986; Wiles А. Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem // Annals of Mathematics. 1995. Vol. 141. Р. 443-551; Виноградов И. М. Основы теории чисел. 11-е изд. М., 2006.