Диофантовы приближения

ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ, раздел теории чисел, в котором изучаются приближения действительных чисел рациональными или, при более широком понимании, вопросы, относящиеся к решению в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств. Название «диофантовы приближения» связано с именем Диофанта, который занимался задачей решения алгебраических уравнений в целых числах - так называемых диофантовых уравнений. Один из методов теории диофантовых приближений основан на использовании непрерывных дробей. Для приближений действительного числа α так называемыми подходящими дробями p_k/q_k разложения α в непрерывную дробь справедливы   неравенства |α – p_k/q_k| < 1/q²_k ,  k = 1, 2, ..., с другой стороны, если несократимая дробь а/b удовлетворяет неравенству |α – а/b| < 1/2b², то она является подходящей дробью разложения α в непрерывную дробь. Существуют обобщения задачи о приближении числа рациональными дробями; к ним прежде всего относится задача об изучении выражений хθ–у–α, где θ и α - некоторые действительные числа, а х и у принимают целые значения (так называемая неоднородная  одномерная  задача).  Среди теорем о приближённом решении в целых числах систем линейных уравнений (многомерные задачи диофантова приближения) известна теорема Кронекера: если α₁, ... , α_n - действительные числа, для которых равенство a₁α₁ + ... + a_nα_n = 0 с целыми α₁, ... , α_n возможно лишь при a₁ = ... = а_n = 0, a β₁ ..., β_n - некоторые действительные числа, то при любом заданном ε > 0 можно найти число t и такие целые числа х₁, ..., x_n,  что  выполняются  неравенства |tα_k – β_k – x_k| < ε, k = 1, 2, ..., n. В теории диофантовых приближений важное значение имеет её связь с геометрией. В конце 19 века Г. Минковский доказал ряд геометрических теорем, имеющих приложения в теории диофантовых приближений.

В вопросах нелинейных диофантовых приближений важные результаты получил И. М. Виноградов. Одна из задач теории диофантовых приближений - проблема приближения алгебраических чисел рациональными. Существенные результаты здесь принадлежат А. Туэ, К. Зигелю, английскому математику К. Ф. Роту и американскому математику В. М. Шмидту.

К диофантовым приближениям относятся некоторые теории трансцендентных чисел, в которых получены оценки для модулей линейных форм и многочленов с целыми коэффициентами от одного или нескольких переменных. Теория диофантовых приближений тесно связана с различными задачами аналитической теории чисел.

Лит.: Гельфонд А. О. Приближение алгебраических чисел алгебраическими же числами и теория трансцендентных чисел // Успехи математических наук. 1949. Т. 4. Вып. 4; Касселс Дж. Введение в теорию диофантовых приближений. М., 1961.