Дирихле интеграл
ДИРИХЛЕ ИНТЕГРАЛ, общее название интегралов нескольких типов.
Интеграл
называется Дирихле интегралом, а также разрывным множителем Дирихле. Он является разрывной функцией от параметров α > 0 и β > 0. П. Дирихле использовал интеграл (1) в исследованиях о притяжении эллипсоидов (1839). Этот интеграл встречался ранее у Ж. Фурье, С. Пуассона и А. Лежандра.
Интеграл
Где
есть так называемое ядро Дирихле, также называется Дирихле интегралом, он равен n-й частичной сумме ряда Фурье функции f, т. е.
где ak, bk, k = 1, 2 ..., - Фурье коэффициенты функции f. Эта формула является одной из важнейших формул теории рядов Фурье; в частности, она позволила П. Дирихле установить, что ряд Фурье функции, имеющей конечное число максимумов и минимумов, сходится в каждой точке (1829).
Интеграл (2)
также называется Дирихле интегралом. Он используется в теории гармонических функций в так называемом принципе Дирихле, который состоит в том, что при достаточно широких условиях среди всех функций и, принимающих заданное значение на границе области G, функция, для которой интеграл (2) достигает наименьшего значения, является гармонической в этой области.