Дисперсионное уравнение

ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ, соотношение, связывающее частоты ω и волновые векторы k собственных гармонических волн (нормальных волн) в линейных однородных системах: непрерывных средах, волноводах, передающих линиях, периодических структурах и др. Дисперсионное  уравнение записывается в явном [ω = ω(k)] или неявном [f (ω, k) = 0] виде. В изотропных средах частота зависит только от модуля волнового вектора: ω = ω(k). В тех случаях, когда зависимость ω(k) неоднозначна, выделяют однозначные ветви дисперсионного уравнения ω = ω_n(k) (где n = 1, 2, ...), соответствующие нормальным модам системы, т. е. совокупностям нормальных волн с одинаковой структурой. Графическое изображение корней дисперсионного уравнения на плоскости (k, ω) называется дисперсионной кривой.

Дисперсионное  уравнение определяет фазовые скорости гармонических волн в направлении k (υ_ϕ = ω/k), групповые скорости перемещения квазигармонических одномодовых волновых пакетов (υ_гр = ∂ω/∂k) расплывание пакетов. В области комплексных значений ω и k дисперсионное уравнение определяет временные и пространственные инкременты (или декременты) процессов распространения волн.

Дисперсионные  уравнения являются следствием динамических уравнений движения и краевых условий на границах раздела сред. И наоборот, по виду дисперсионного уравнения при наличии определённой априорной информации о системе могут быть восстановлены динамические уравнения процессов. Например, так было получено уравнение Шрёдингера, описывающее волновые свойства частицы. Однако эта процедура неоднозначна. Например, одно и то же дисперсионное уравнение ω² = ω²₀ + u²k² соответствует: электромагнитным волнам в изотропной плазме, плазменным волнам, волнам в радиоволноводах, волнам в акустических волноводах, элементарной частице в релятивистской волновой механике. При этом критические частоты ω₀ и характерные скорости u имеют разные значения и физический смысл.

Существует обобщение дисперсионного уравнения на нелинейные стационарные волновые процессы (периодические нелинейные волны или уединённые волны - солитоны). В этом случае нелинейное дисперсионное уравнение связывает амплитуду стационарной волны с её структурными параметрами - характерными временами и масштабами (смотри Нелинейные колебания и волны).

В квантовой теории твёрдого тела дисперсионное уравнение - зависимость энергии Е квазичастицы от импульса р (смотри Дисперсии закон).

Лит.: Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М., 1977; Крауфорд Ф. Волны. 3-е изд. М., 1984.