Дисперсионные соотношения

ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ, соотношения между величинами, описывающими реакцию физической системы на внешнее воздействие. Дисперсионные  соотношения не зависят от конкретного механизма воздействия и являются прямым следствием причинности принципа, заключающегося в данном случае в том, что реакция системы по времени не может опережать внешнее воздействие.

Дисперсионные  соотношения впервые были получены в теории дисперсии света как связь между показателями преломления и поглощения света в среде (или между действительной и мнимой частями диэлектрической проницаемости; Кронига-Крамерса соотношения). В квантовой механике и квантовой теории поля (КТП) дисперсионные соотношения выступают как связь между вещественной (Re) и мнимой (Im) частями амплитуд процесса рассеяния. Строгое доказательство дисперсионного соотношения в КТП впервые было дано Н. Н. Боголюбовым в 1956 году. Например, для амплитуды рассеяния f двух частиц как функции энергии Е дисперсионное соотношения записывается в виде (*):

(Р - символ главного значения интеграла), причём интегрирование ведётся по области энергии, где Im≠0. В некоторых случаях дисперсионные соотношения допускают непосредственную проверку, которая, в сущности, означает проверку принципа причинности. Например, для рассеяния на нулевой угол (рассеяние вперёд) мнимая часть амплитуды, согласно оптической теореме, пропорциональна полному сечению процесса, измеряемому экспериментально. Несколько более сложная процедура позволяет измерить также и вещественную часть амплитуды. Подставляя результаты этих измерений в дисперсионные соотношения типа (*), можно судить, в какой степени выполняется это равенство. Проведённая проверка показала, что вплоть до энергий, соответствующих расстояниям порядка 10^-16 см, равенство (*), а, следовательно, и принцип причинности, выполняются.

Применение дисперсионных соотношений в теории элементарных частиц связано с использованием унитарности условия и перекрёстной симметрии, которые позволяют выразить мнимую часть амплитуды одного процесса через амплитуды других процессов. Например, в определённой области энергий мнимая часть формфактора протона связывается с амплитудой аннигиляции протона и антипротона. Так удаётся установить взаимосвязь между различными физическими процессами. Возникающая система уравнений оказывается настолько большой, что практически включает все возможные процессы, происходящие с элементарными частицами, и не поддаётся математическому разрешению. Однако с помощью различных приближений в ряде случаев удаётся сузить систему взаимосвязей процессов и получить важные физические результаты. В частности, на основе такого дисперсионного анализа формфактора протона было получено предсказание существования ρ-мезона, который вскоре был обнаружен экспериментально.

Дисперсионные  соотношения прочно вошли в аппарат теории элементарных частиц и КТП и служат мощным инструментом исследования свойств амплитуд процессов.

Лит.: Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К. Вопросы теории дисперсионных соотношений. М., 1958; Общие принципы квантовой теории поля и их следствия. М., 1977.