Дзета-функция Римана

ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ Римана (ζ-функция), аналитическая функция комплексного переменного s = σ + it, при σ>1 определяемая абсолютно и равномерно сходящимся Дирихле рядом:

При σ > 1 справедливо представление в виде произведения Эйлера:

где р пробегает все простые числа.

Тождественность ряда (1) и произведения (2) представляет собой одно из основных свойств дзета-функции. Оно позволяет получить многочисленные соотношения, связывающие дзета-функцию с важнейшими теоретико-числовыми функциями. Поэтому дзета-функция играет большую роль в теории чисел.

Дзета-функция была введена как функция действительного переменного Л. Эйлером (1737, опубликована в 1744), который указал её разложение в произведение (2). Затем дзета-функция рассматривалась П. Дирихле и особенно успешно П. Л. Чебышевым в связи с изучением закона распределения простых чисел. Наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены после работ Б. Римана, впервые в 1859 году рассмотревшего дзета-функцию как функцию комплексного переменного; им же введено название «дзета-функции» и обозначение ζ(s).

Многие проблемы теории простых чисел тесно связаны с нулями дзета-функции. Известно, что дзета-функция имеет нули в точках s = -2n, где n = 1, 2, ... (эти нули принято называть тривиальными), и что все остальные (нетривиальные) нули дзета-функции находятся в полосе 0 < σ < 1, называемой критической полосой. Б. Риман высказал предположение, что все нетривиальные нули дзета-функции расположены на прямой σ=1/2. Эта гипотеза Римана до сих пор (2006) не доказана и не опровергнута.