Гамильтониан

ГАМИЛЬТОНИАН (оператор Гамильтона) в квантовой теории, оператор полной энергии квантовой системы, играющий важную роль в описании её динамики. В классической теории ему соответствует Гамильтона функция для полной энергии системы как функции её обобщённых координат и импульсов. В квантовой теории функция Гамильтона становится оператором, для построения которого в классическом выражении координаты и импульсы заменяют на соответствующие операторы. Последние не коммутируют между собой, поэтому порядок в их произведениях необходимо доопределить так, чтобы гамильтониан был самосопряжённым оператором. Так, в классической механике для точечной частицы в потенциальном поле функция Гамильтона есть сумма кинетической энергии (функции импульса) и потенциальной энергии (функции координат). В координатном представлении квантовой механики операторы компонент импульса пропорциональны производным по координатам, поэтому оператор кинетической энергии с точностью до коэффициента описывается оператором Лапласа, а оператор потенциальной энергии - оператором умножения на соответствующую функцию. Аналогичным образом строятся гамильтонианы и более сложных систем. В квантовой теории поля гамильтониан строится на основании гамильтонова представления соответствующей классической теории поля; в этом случае, как правило, используется фоковское представление, в котором основную роль играют операторы рождения и уничтожения квантов поля. Если же система вообще не имеет классического аналога, то построение гамильтониан осуществляется аксиоматически, исходя из физического смысла этой величины как полной энергии.

В квантовой механике изменение состояния системы во времени описывается волновой функцией, производная от которой по времени пропорциональна результату действия на неё оператора гамильтониан (нестационарное Шрёдингера уравнение). Стационарные состояния системы, волновые функции которых являются собственными функциями этого оператора, удовлетворяют стационарному уравнению Шрёдингера. В стационарных состояниях вероятности наблюдаемых, характеризующих систему, не зависят от времени. Собственные значения гамильтониан, отвечающие собственным функциям, образуют спектр энергий, который может быть непрерывным или дискретным. Дискретный спектр энергий характерен для частиц, совершающих движение в конечной области пространства, например для электрона в атоме или частицы, совершающей колебания около положения равновесия (гармонический осциллятор). Энергия свободной частицы или заряда, ускоряемого электрическим полем, может изменяться непрерывно.

Если система обладает симметриями (например, частица в центральном поле), то операторы, осуществляющие преобразования симметрии, коммутируют с гамильтонианом (в данном случае это квадрат орбитального момента). Все операторы, коммутирующие с гамильтонианом, являются интегралами движения, то есть сохраняющимися величинами; это непосредственно следует из описания эволюции системы в представлении Гейзенберга, где производные по времени от наблюдаемых пропорциональны их коммутаторам с гамильтонианом. При наличии нескольких операторов, коммутирующих с гамильтонианом, но не коммутирующих между собой, спектр энергий оказывается вырожденным, то есть одному собственному значению может соответствовать несколько различных собственных векторов (смотри Вырождение).

Д. В. Гальцов.