Гильберта проблемы

ГИЛЬБЕРТА ПРОБЛЕМЫ, 23 проблемы математики, сформулированные Д. Гильбертом на 2-м Международном математическом конгрессе (Париж, 1900). Развитие идей, связанных с Гильберта проблемами, составило значительную часть достижений математики 20 века.

Гильберта проблемы относятся к различным областям математики, а некоторые - сразу к нескольким. Две Гильберта проблемы относятся к основаниям математики, три - к алгебре, пять - к теории чисел, три - к геометрии, одна - к топологии, шесть - к алгебраической геометрии, три - к группам Ли, две - к вещественному и комплексному анализу, четыре - к дифференциальным уравнениям, одна - к вариационному исчислению, одна - к аксиоматическому построению ряда физических дисциплин, к которым Гильберт относил и теорию вероятностей.

Почти все Гильберта проблемы в той или иной степени получили своё решение. Среди наиболее известных Гильберта проблем: связанная с континуум-гипотезой (1-я Гильберта проблема); связанная с трансцендентностью некоторых чисел (7-я Гильберта проблема); связанная с диофантовыми уравнениями (10-я Гильберта проблема).

1-я Гильберта проблема состоит в доказательстве континуум-гипотезы, которая утверждает, что с точностью до эквивалентности существует только два типа бесконечных числовых множеств: счётное множество и континуум. Оказалось, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Это связано с тем, что если взять стандартную систему аксиом Цермело - Френкеля ZF с аксиомой выбора (то есть ZFC, смотри Аксиоматическая теория множеств) и добавить к ней в качестве ещё одной аксиомы отрицание континуум-гипотезы, то, как доказано К. Гёделем (1936), получится непротиворечивая система утверждений при условии, что непротиворечива сама система аксиом ZF. Как доказано П. Коэном (1963), аналогичная ситуация получается, если к системе аксиом ZFC добавить в качестве аксиомы континуум-гипотезу.

7-я Гильберта проблема состоит в доказательстве того, что число ab, где а - положительное алгебраическое число, не равное единице, а b - иррациональное алгебраическое число, является трансцендентным. Справедливость этого утверждения была установлена одновременно и независимо А. О. Гельфондом и немецким математиком Т. Шнайдером (1934).

10-я Гильберта проблема состоит в том, чтобы указать общий алгоритм, который за конечное число шагов позволяет установить по виду диофантова уравнения с произвольным числом неизвестных, имеет оно решение в целых числах или нет. В 1970 году российский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такого алгоритма не существует.

Создание А. Н. Колмогоровым аксиоматической теории вероятностей (1933) иногда связывают с решением 6-й проблемы Гильберта.

Лит.: Проблемы Гильберта. Сборник / Под редакцией П. С. Александрова. М., 1969; Болибрух А. А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя). М., 1999.