Гипергеометрическая функция

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, аналитическая функция F, которая является решением гипергеометрического уравнения

где α, β, γ -параметры, которые могут принимать комплексные значения, z - комплексная переменная. Гипергеометрическая  функция может быть записана в виде гипергеометрического ряда

который иногда называют рядом Гаусса. Этот ряд сходится при |z|< 1, здесь предполагается, что γ не равно нулю или целому отрицательному числу. Если Reγ > Reß > 0 и |arg(1-z)| < π, то для гипергеометрической функции справедлива формула Эйлера

где Г - гамма-функция. Через гипергеометрическую функцию выражаются многие элементарные функции, например,

и многие специальные функции.

Гипергеометрический ряд был впервые рассмотрен Л. Эйлером (1778). Теория этих рядов была развита К. Гауссом (1812).

Лит.: Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. 2-е изд. М., 1963.