Инфимум и супремум

ИНФИМУМ И СУПРЕМУМ (латинский infimum, буквально - самое нижнее; supremum, буквально - наивысшее) (непустого) числового множества, точная нижняя и точная верхняя грани этого множества. Если множество А ограничено снизу, то существует число m, наибольшее из чисел, ограничивающее А снизу. Это число называют точной нижней гранью множества А, обозначают inf А и пишут m = inf f{х : х є А}. Если множество А не ограничено снизу, то полагают inf А = -∞. Аналогично определяется точная верхняя грань множества А. Если множество А ограничено сверху, то sup А - наименьшее из чисел, ограничивающих А сверху, а если А не ограничено сверху, то sup F= + ∞.

Точные нижняя и верхняя грани могут как достигаться, так и не достигаться.

Например, если А - множество чисел х таких, что а ≤ х < b, где а и b, а < b, - некоторые числа, inf А = а и точная нижняя грань достигается на числе а и sup А = b, но точная верхняя грань не достигается. В любом случае существуют последовательности х₁, х₂,... и у₁, у₂, ... чисел из множества А такие, что

Если точная нижняя грань достигается, то вместо inf А пишут min А. Если точная верхняя грань достигается, то вместо sup А пишут max А.