Исчисление (в математике)

ИСЧИСЛЕНИЕ в математике,

1) составная часть названия некоторых разделов математики, например вариационное исчисление, дифференциальное исчисление.

2) В математической логике и теории алгоритмов способ задания того или иного множества объектов путём указания исходных объектов и правил вывода, порождающих новые объекты из исходных и уже построенных; синонимами исчисления являются формальная система и дедуктивная система. Общее понятие исчисления имеет столь же фундаментальный характер, как и понятие алгоритма, в частности, класс множеств, которые могут быть заданы с помощью исчисления, совпадает с классом алгоритмически перечислимых множеств.

Специальные виды исчисления широко используются в математике для задания алгебраических систем (групп, полугрупп и др.), в математической лингвистике - для описания грамматик формальных, в информатике - для описания синтаксиса языков программирования, и т. д. В математической логике исчисление используют для описания логических языков и формальных аксиоматических теорий (например, таких как высказываний исчисление, предикатов исчисление, формальная арифметика). Логические системы исчисления, разработанные Г. Фреге и Д. Гильбертом, были первыми примерами полностью формализованных дедуктивных систем.

Логические исчисления, как правило, определяются следующим образом. Рассматривается некоторый алфавит, из элементов которого, называемых символами, с помощью, так называемых правил образования строятся формулы рассматриваемого исчисления. Языком данного исчисления называют совокупность всех его формул; некоторые из формул объявляются аксиомами. Выводом (или доказательством) в данном исчислении называют конечную последовательность формул, всякий элемент которой либо является аксиомой, либо получается из предшествующих ему элементов по одному из правил вывода. Формулы, входящие в некоторый вывод, называют выводимыми формулами или теоремами данного исчисления. Для логического исчисления указанного типа часто используется термин «формальная (аксиоматическая) теория». Иногда этот термин относят не только к чисто синтаксическому исчислению, описывающему формальный процесс порождения определённых цепочек символов, но и к исчислению, снабжённому семантикой, т. е. интерпретацией, определяющей смысл формул рассматриваемого языка (смотри также Логическая семантика).

Лит.: Клини С. К. Введение в метаматематику. М., 1957; Новиков П. С. Элементы математической логики. 2-еизд. М., 1973; Смальян Р. Теория формальных систем. М., 1981; Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1984.