Исчерпывания метод

ИСЧЕРПЫВАНИЯ МЕТОД, метод доказательства, применявшийся математиками древности при определении площадей и объёмов.

Одна из типичных схем доказательства при помощи исчерпывания метода может быть изложена в современных обозначениях следующим образом. Для определения значения неизвестной величины А можно построить некоторую последовательность величин С₁, С₂, ..., C_n, ... такую, что

C_n < А (1)

для всех n, и указать величину В такую, что

С_n < В (2)

для всех n. При этом последовательность С₁, С₂, ..., C_n,...  и величина В должны быть такими, что справедливы неравенства

К (А - С_n) < D, (3)

К (В - C_n) < D, (4)

при любом целом К для достаточно больших n, где D - постоянная величина. В этом случае А = В.

С современной точки зрения для перехода от неравенств (3) и (4) к равенству А = В достаточно заметить, что в силу условий (1) - (4)

Математики древности, не располагавшие теорией пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств А < В, В < А. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса - Архимеда (она состоит в том, что для любых положительных величин а и b таких, что а < b, существует целое число m такое, что mа > b) устанавливали, что для R = В - А существует такое К, что KR > D, и в силу условия (1) получали неравенства

К(В - С_n) > К(В - А) > D,

что противоречит (4). Аналогично опровергалось другое предположение и оставалось только принять равенство А = В.

Введение исчерпывания метода вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, и с особенным искусством и разнообразием - Архимед.

Например, для определения площади сегмента, заключённого между параболой и пересекающей её прямой (рис.), Архимед строил площади С1, С2, ..., Cn ..., «исчерпывающие» при их постепенном нарастании эту площадь. При этом

Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу

Архимед с помощью геометрических соображений доказал, что при любом n справедливо неравенство А - C_n < С₁/4^n-1, для величины   В = 4С₁/3   установил,  что

и, следуя изложенному выше, доказал, что   А = В = 4С₁/3.       

А. Н. Колмогоров.