Измеримая функция
ИЗМЕРИМАЯ ФУНКЦИЯ, заданная на измеримом по Лебегу (смотри Мера множества) множестве Е действительных чисел функция f(х), принимающая действительные значения, такая, что для каждого действительного t измеримо по Лебегу множество Et точек х из Е, для которых f(х) ≤ t. Измеримыми являются сумма, разность, произведение и частное измеримой функции, а также предел последовательности измеримой функции.
Измеримость характеризует теорема Лузина (1913) о С-свойстве: измеримыми являются те и только те функции, которые могут быть сделаны непрерывными после изменения их значений на множестве сколь угодно малой меры.
Измеримые функции на пространствах Х более общей природы определяются относительно выбранной системы А измеримых подмножеств множества Х. При естественных условиях на систему А (когда А есть σ-алгебра) функция f называется измеримой, если множества вида Et измеримы при всех t. В вероятностей теории случайными величинами называются измеримые функции, отображающие измеримые пространства на действительную прямую, когда измеримые множества А представляют собой область определения некоторого распределения вероятностей.