Изоморфизм в математике

ИЗОМОРФИЗМ в математике, одно из основных понятий математики, описывающее схожесть систем объектов с заданными в них операциями или отношениями. Примером двух изоморфных систем является система R всех действительных чисел с операцией сложения и система R₊ положительных действительных чисел с операцией умножения. Внутреннее строение этих двух систем чисел одинаково в следующем смысле. Отобразим систему R в систему R₊ , поставив в соответствие числу х из R число у = ах, а > 1, из R₊. Тогда сумме х = х₁+ х₂ будет соответствовать произведение у = у₁у₂ чисел у₁=a^x1 и у₂ = а^х2. Обратное отображение R₊ на R имеет при этом вид х = log_ay. Любому предложению, относящемуся к сложению чисел системы R, соответствует предложение, относящееся к умножению чисел из системы R₊. Например, в R сумма s_n = х₁ +х₂+ ... +x_n членов арифметической прогрессии выражается формулой s_n = (n(х₁ + x_n))/2. Для произведения р_n = у₁у₂...у_n членов геометрической прогрессии в R₊ этой формуле соответствует формула р_n = √(у₁у_п)ⁿ (умножению на n в системе R соответствует возведение в n-ю степень в системе R₊, а делению на два - извлечение квадратного корня).

Изучение свойств одной из изоморфных систем в значительной мере (с абстрактно-математической точки зрения - полностью) можно свести к изучению свойств другой. Любую систему объектов S’, изоморфную системе S, можно рассматривать как модель системы S и сводить изучение свойств системы S к изучению свойств модели S’.

Общее определение изоморфизма систем объектов с заданными в них отношениями таково. Пусть даны две системы объектов S и S’, причём в первой определены отношения F_k(x₁,x₂,...), k = 1,2,...,n, а во второй - отношения F’_k(х₁, х’₂, ...), k=1,2,...,n, причём для каждого k число объектов в отношениях F_k, и F’_k одинаково (оно может зависеть от k). Системы S и S’ с указанными на них отношениями называются изоморфными (в этом случае пишут S ≅ S’), если существует такое взаимно однозначное соответствие х’ = φ(х), х = ψ(х’) (в первом равенстве х - произвольный элемент системы S, а во втором х’ - произвольный элемент системы S’), что из отношения F_k(х₁,х₂,...) вытекает отношение F’_k(х’₁, х’₂, …) и наоборот. Отображение φ называется изоморфным отображением или изоморфизмом системы S в S’, а обратное ему отображение ψ - изоморфным отображением или изоморфизмом системы S’ в S.

В приведённом выше примере в системе R определено отношение F(х,х₁,х₂), где х = х₁ +х₂, а в системе R₊ - отношение F’(у,у_1,у₂), где у = у₁у₂, взаимно однозначное соответствие устанавливается формулами у = ах, х=log_ay.

Понятие изоморфизма возникло в алгебре, точнее, в теории групп, где впервые был понят тот факт, что изучение внутренней структуры двух изоморфных систем объектов представляет собой одну и ту же задачу. Это свойство отметил Р. Декарт (1637), он предвидел возможность отождествлять изоморфные отношения или операции (называл их подобными). Современная терминология утвердилась после работ Э. Нётер (1918). Понятие изоморфизма находит применение во многих разделах математики.

Аксиомы любой математической теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией, всегда только с точностью до изоморфизма: аксиоматически построенная математическая теория, применимая к какой-либо одной системе объектов, всегда полностью применима к другой, изоморфной ей. Поэтому каждая аксиоматическая математическая теория допускает не одну, а много интерпретаций, или моделей.

Понятие изоморфизма включает в себя как частный случай понятие гомеоморфизма. Частным случаем изоморфизма является автоморфизм - взаимно однозначное отображение х’ = φ(х), х = ψ(х’) системы объектов с заданными отношениями F_k(x₁,х₂,...) на самоё себя, при котором из Fk(х₁, х₂,...) вытекает F’_k{х’₁, х’₂,...), k = 1,2,.,.,n, и наоборот. Это понятие также возникло в теории групп, но потом оказалось существенным в различных разделах математики.

Лит.: Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. СПб. и др., 2005.