Ковариационная матрица

КОВАРИАЦИОННАЯ МАТРИЦА, матрица, элементами которой являются попарные ковариации компонент случайного вектора. Пусть Х =(X1,...,Хn) - n-мерный случайный вектор, компоненты Х1...,Xn которого имеют конечные дисперсии. Ковариационной матрицей вектора Х называется квадратная матрица ||σij ||, где σij = cov(Xi, Хj) - ковариация случайных величин Xi, и Хj, i,j=1,...,n. Элементы главной диагонали ковариационной матрицы равны дисперсиям величин Xi ,i= 1,..., n.

Ковариационная матрица - симметрическая, неотрицательно определённая матрица, причём она положительно определена тогда и только тогда, когда Х имеет невырожденное распределение. Ковариационная матрица является диагональной тогда и только тогда, когда компоненты случайного вектора Х попарно некоррелированы. Каждая симметрическая неотрицательно определённая матрица порядка n является ковариационной матрицей некоторого n-мерного случайного вектора.

Понятие ковариационная матрица обобщает понятие дисперсии действительной случайной величины на случайные векторы. Её иногда называют матрицей вторых моментов.

Ковариационная матрица тесно связана с корреляционной матрицей || pij ||, где ρij - корреляции коэффициент между случайными величинами Xi и Xj, i,j=1,...,n.

Лит.: Крамер Г. Математические методы статистики. М., 2003.

Н. Г. Ушаков.