Ковариационная матрица

КОВАРИАЦИОННАЯ МАТРИЦА, матрица, элементами которой являются попарные ковариации компонент случайного вектора. Пусть Х =(X₁,...,Х_n) - n-мерный случайный вектор, компоненты Х₁...,X_n которого имеют конечные дисперсии. Ковариационной матрицей вектора Х называется квадратная матрица ||σ_ij ||, где σ_ij = cov(X_i, Х_j) - ковариация случайных величин X_i, и Х_j, i,j=1,...,n. Элементы главной диагонали ковариационной матрицы равны дисперсиям величин X_i ,i= 1,..., n.

Ковариационная матрица - симметрическая, неотрицательно определённая матрица, причём она положительно определена тогда и только тогда, когда Х имеет невырожденное распределение. Ковариационная матрица является диагональной тогда и только тогда, когда компоненты случайного вектора Х попарно некоррелированы. Каждая симметрическая неотрицательно определённая матрица порядка n является ковариационной матрицей некоторого n-мерного случайного вектора.

Понятие ковариационная матрица обобщает понятие дисперсии действительной случайной величины на случайные векторы. Её иногда называют матрицей вторых моментов.

Ковариационная матрица тесно связана с корреляционной матрицей || p_ij ||, где ρ_ij - корреляции коэффициент между случайными величинами X_i и X_j, i,j=1,...,n.

Лит.: Крамер Г. Математические методы статистики. М., 2003.