Квадратичная форма

КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА, однородный многочлен 2-й степени от n переменных x₁, x₂, . . . , х_п , то есть многочлен вида

Обычно предполагается, что коэффициенты квадратичной формы являются действительными или комплексными числами, в этом случае квадратичную форму можно записать в виде

(*)

где a_ij = a_ji i, j  = 1, ... , n. Симметричная матрица А = || a_ij || называется матрицей квадратичной формы.

Квадратичную форму можно рассматривать как функцию от n переменных или от вектора в n-мерном векторном пространстве. Переход к другой системе координат (другому базису) в этом векторном пространстве приводит   к   замене   переменных х₁, . . . , х_n  в квадратичной форме новыми переменными у₁, . . . , у_n линейно выражающимися через х₁, . . . , х_n . Матрица квадратичной формы (*) в новой системе координат имеет вид Ã= С^TАС, где С = ||c_ij|| - матрица перехода от старого базиса к новому (x_i = ∑ⁿ_j=1c_ijy_i, i = 1,.,.,n), а Т означает транспонирование (смотри Матрица). Переход к новому базису используется, например, для упрощения уравнения линии (поверхности) 2-го порядка.

Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, в этом случае

Такой вид квадратичной формы называется каноническим. Если коэффициенты квадратичной формы - комплексные числа, то можно выбрать все ненулевые коэффициенты а₁₁, . . . ,а_nn равными единице. Базис, в котором квадратичная форма принимает канонический вид, не единственен, но число ненулевых коэффициентов в каноническом виде не зависит от выбора базиса и называется рангом квадратичной формы. Над полем действительных чисел квадратичную форму можно привести к каноническому виду, в котором все ненулевые коэффициенты равны 1 или -1. Такой вид квадратичной формы называется нормальным. Количество коэффициентов, равных 1 или -1, не зависит от выбора базиса (теорема Сильвестра, или закон инерции). Разность между числом положительных и числом отрицательных членов в нормальном виде квадратичной формы называется её сигнатурой. Если все ненулевые коэффициенты в нормальном виде квадратичной формы равны 1 (-1), то квадратичная форма называется положительно определённой (отрицательно определённой), в противном случае форма называется неопределённой.

Для квадратичных форм, заданных в евклидовом пространстве и имеющих действительные коэффициенты, справедлива теорема о приведении к главным осям: от любого ортонормированного базиса можно перейти к другому такому ортонормированному базису, что квадратичная форма имеет в нём канонический вид. Замена координат осуществляется при этом ортогональной матрицей. В применении к линиям и поверхностям 2-го порядка это даёт их приведение к главным осям.

Теория квадратичной формы впервые изложена Ж. Лагранжем (1798). Общая теория квадратичной формы создана К. Гауссом (1801); ему же принадлежит термин «квадратичная форма».

Лит.: Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. 3-е изд. М., 2005.