Квадратура круга

КВАДРАТУРА КРУГА, задача о построении квадрата, площадь которого равна площади данного круга. Традиционными средствами решения задач на построение являются циркуль и линейка. Математики древности знали ряд случаев, когда с помощью этих инструментов удаётся преобразовать криволинейную фигуру в равновеликую ей прямоугольную, но задача о квадратуре круга не поддавалась решению. В 1775 году Парижская АН, а затем и другие академии стали отказываться от рассмотрения работ, посвящённых квадратуре круга.

Пусть радиус данного круга равен r, тогда сторона равновеликого этому кругу квадрата есть х = r √π. Т.о., для решения задачи о квадратуре круга нужно построить отрезок r√π, т. е. графически умножить  r  на √π.  Для некоторых иррациональных  множителей такое умножение выполнимо. Так, r √2 - диагональ  квадрата со  стороной  r, r√2-√3 - сторона правильного 12-угольника, вписанного в круг радиуса r. Построение этих отрезков можно выполнить с помощью циркуля и линейки. Квадратура круга связана с арифметической природой числа π. В конце 18 века И. Ламбертом и А. Лежандром была установлена иррациональность числа π. В 1882 году немецкий математик Ф. Линдеман доказал трансцендентность числа π (а следовательно, и √π, смотри Трансцендентное число), т. е. π не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами, поэтому задача о квадратуре круга неразрешима с помощью циркуля и линейки. Она становится разрешимой, если расширить средства построения. Так, уже геометрам Древней Греции было известно, что квадратуру круга можно осуществить, используя некоторые трансцендентные кривые; первое такое решение было найдено Диностратом (4 век до нашей эры).

Лит.: Прасолов В. В. Квадратура круга // Прасолов В. В. Три классические задачи на построение. М., 1992.