Выпуклое тело

ВЫПУКЛОЕ ТЕЛО, геометрическое тело, обладающее тем свойством, что отрезок, соединяющий две его любые точки, содержится в нём целиком. На рисунке а тело выпукло, на рисунке б - не выпукло. Примерами выпуклого тела являются шар, куб, шаровой сегмент. Любая связная часть границы (смотри Связное множество) выпуклого тела называется выпуклой поверхностью. Через каждую точку границы выпуклого тела проходит по крайней мере одна опорная плоскость, т. е. плоскость, имеющая общую точку (или отрезок, или часть плоскости) с границей тела, но не рассекающая его (плоскость Р на рисунке а). В точках, где граница выпуклого тела - гладкая поверхность, опорная плоскость будет касательной плоскостью. В тех точках, где гладкость нарушается (например, в вершине куба), существует бесконечно много опорных плоскостей. Выпуклые  тела могут быть пяти типов: конечные (граница - замкнутая выпуклая поверхность), бесконечные (граница одна бесконечная поверхность; например, выпуклое тело, ограниченное параболоидом), бесконечные в обе стороны цилиндры (граница - замкнутая выпуклая цилиндрическая поверхность; например, бесконечный круговой цилиндр), слои между парами параллельных плоскостей, всё пространство. Основы теории выпуклого тела были заложены в конце 19 века немецкими математиками Г. Брунном и Г. Минковским. Важнейшие новые результаты этой теории были получены А. Д. Александровым и А. В. Погореловым.

Простейшими выпуклыми телами являются выпуклые многогранники, то есть выпуклые тела, ограниченные конечным числом многоугольников. Для любого конечного выпуклого тела можно построить как угодно близкие к нему выпуклые многогранники. Это позволяет решать многие задачи о выпуклом теле следующим образом: задача решается для выпуклых многогранников, а затем с помощью предельного перехода соответствующий результат переносится на любое выпуклое тело. Так, например, определяются площади выпуклых поверхностей и объёмы выпуклых тел. В частности, устанавливается, что если одно конечное выпуклое тело охватывает другое, то площадь поверхности первого больше площади поверхности второго. Этот подход был предложен А. Д. Александровым (1948) и применён для решения различных задач теории выпуклых тел.

Общая теория выпуклого тела и выпуклых поверхностей составляет так называемую геометрию выпуклых тел, включающую исследование общих свойств выпуклого тела (теоремы об опорных плоскостях, классификация выпуклого тела, приближение многогранниками), изучение экстремальных свойств выпуклого тела (например, шар среди всех выпуклых тел с заданным объёмом имеет минимальную поверхность), теоремы о существовании и единственности выпуклого тела с заданными свойствами, свойства различных классов выпуклых тел, а также изучение общих свойств выпуклых поверхностей, теоремы существования и единственности для выпуклых поверхностей.

Понятие выпуклого тела естественно возникает и в геометрии пространств постоянной кривизны. Многие перечисленные выше задачи формулируются и решаются для выпуклых тел в таких пространствах. Методы и результаты теории выпуклого тела используются в различных разделах математики: в геометрии, теории чисел, математическом анализе.

Лит.: Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л., 1948; он же. Выпуклые многогранники. М.; Л., 1950; Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М., 1969.