Алгебраическая Поверхность

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, поверхность, задаваемая в декартовых координатах алгебраическим уравнением, в общем случае — алгебраическое многообразие размерности 2. Примерами алгебраической поверхности являются аффинные и проективные плоскости и поверхности 2-го порядка, изучаемые в аналитической геометрии. Алгебраические поверхности, изучаемые в алгебраической геометрии, являются в основном проективными и неособыми. В отличие от кривых, алгебраические поверхности обладают многими дискретными инвариантами. Основной задачей теории алгебраической поверхности является классификация таких поверхностей. В бирациональной классификации алгебраической поверхности центральным является понятие минимальной модели: любая неособая проективная алгебраическая поверхность регулярно и бирационально отображается либо на минимальную модель, либо на линейчатую поверхность, либо на проективную плоскость. С точностью до изоморфизма минимальная модель единственна в своём бирациональном классе.

Изучение алгебраической поверхности было начато в середине 19 века с алгебраической поверхности 3-го порядка. Систематическая бирациональная теория алгебраической поверхности была построена в основном итальянскими геометрами во главе с Г. Кастельнуово и Ф. Энриквесом в конце 19 - начале 20 века. Современная теория алгебраической поверхности уточняет и совершенствует классическую, не меняя её принципиально. Теория алгебраической поверхности обобщается на размерности, большие 2. Алгебраические поверхности имеют применение в теории диофантовых уравнений.

Лит.: Алгебраические поверхности. М., 1965; Barth W., Peters С., Van de Ven А. Compact complex surfaces. В., 1984; Исковских В. А., Шафаревич И. Р. Алгебраические поверхности // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М., 1989. Т. 35.