Алгебраическое Многообразие

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ, основной объект изучения в алгебраической геометрии, который вначале определялся как множество точек в n-мерном пространстве, координаты которых х₁, ..., х_n являются решениями системы уравнений

F₁..... F_m - многочлены от х₁,.....х_n.

Каждое алгебраическое многообразие имеет определённую размерность, которая является числом независимых параметров, определяющих точку на многообразии. Примерами алгебраических кривых являются конические сечения.

В дальнейшем стали различаться аффинные, проективные и заданные абстрактно алгебраические многообразия. Для каждого алгебраического многообразия фиксируется его поле определения k, называемое также полем констант или основным полем. Аффинное алгебраическое многообразие задаётся системой алгебраических уравнений вида (1) в аффинном пространстве A_kⁿ над полем k с координатами х₁, ..., х_n. Аналогично, проективное алгебраическое многообразиезадаётся системой однородных алгебраических уравнений в проективном пространстве P_kⁿ с однородными координатами у₀, у₁, ..., у_n. Абстрактно заданные алгебраические многообразия склеиваются из аффинных подобно тому, как обычные дифференциальные многообразия склеиваются из евклидовых шаров. Не всякое абстрактно заданное алгебраическое многообразие может быть вложено в проективное пространство.

На каждом алгебраическом многообразии Х вводится топология Зариского, замкнутыми подмножествами в которой являются все подмногообразия (включая само Х и пустое множество). Эта топология сильно не отделима; например, на аффинной прямой А_k¹ над бесконечным полем k любые два открытые непустые подмножества пересекаются.

Топология Зариского позволяет определить на Х пучок локальных колец 0_Х, называемый структурным (смотри Пучков теория). Слой 0_х пучка О_Х в точке х = (х₁, ..., x_n) Є Х состоит из ростков регулярных функций в х. Каждый росток (неоднозначно) представлен в некоторой окрестности х рациональной функцией вида

где Р и Q - многочлены и Q(х) ≠ 0. Кольцо глобальных сечений А(Х) пучка 0_Х называется координатным кольцом на Х - это кольцо функций, регулярных на всём многообразии Х.

Для алгебраического многообразия рассматриваются отображения двух типов: регулярные (называемые обычно морфизмами) и рациональные. Регулярные отображения локально задаются в координатах многочленами, а рациональные - рациональными функциями, т. е. отношениями многочленов. Последние могут быть не всюду определёнными. Если рациональное отображение имеет обратное, оно называется бирациональным.

Размерность (неприводимого) алгебраического многообразия Х определяется топологически как максимальная длина цепочки различных вложенных непустых замкнутых подмножеств в Х или алгебраически как максимальное число алгебраически независимых рациональных функций на Х. Оба определения дают одно и то же число. Алгебраическое многообразие размерности 1 - алгебраические кривые, размерности 2 - алгебраические поверхности. Гиперповерхность в n-мерном аффинном или проективном пространстве задаётся одним уравнением и имеет размерность n-1.

Главное отличие проективного алгебраического многообразия от аффинного алгебраического многообразия заключается в его полноте, являющейся алгебраическим аналогом топологического понятия компактности. Всякое проективное многообразие над полем комплексных чисел С компактно, а аффинное многообразие размерности, большей 0, не компактно. Существуют полные алгебраические многообразия, не изоморфные проективным. На полных алгебраических многообразиях всюду регулярными функциями являются только константы.

Наиболее важным для алгебраического многообразия является понятие неособости (гладкости). Оно локально и определяется для каждой точки. Точка х Є Х в определении системой (1) называется неособой (гладкой), если ранг матрицы (δF_i/δx_i) максимален в этой точке. Это условие соответствует условию существования неявной функции в анализе. Алгебраическое многообразие называется неособым (гладким), если все его точки неособые, в противном случае — особым.

Обобщениями алгебраического многообразия являются схемы и алгебраические пространства.

Лит. смотри при статье Алгебраическая геометрия.

В. А. Исковских.