Алгебраическая Топология

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ, область математики, изучающая такие свойства геометрических фигур (в широком смысле - любых объектов, где можно говорить о непрерывности) и их отображений друг в друга, которые не меняются при непрерывных деформациях (гомотопиях). В принципе целью алгебраической топологии является полное перечисление таких свойств. Само название «алгебраическая топология» происходит от определяющей роли алгебраических понятий и методов при решении задач этой области. Наиболее фундаментальными классами объектов, свойства которых изучаются в алгебраической топологии, являются: комплексы (многогранники, полиэдры) - симплициальные, клеточные и другие; многообразия - замкнутые, открытые, с краем (границей), подразделяющиеся, в свою очередь, на гладкие (дифференцируемые), аналитические, комплексно-аналитические, кусочно-линейные и, наконец, чисто непрерывные (топологические); косые произведения (расслоения) и их сечения. Основные типы отображений, рассматриваемые в алгебраической топологии, — это произвольные непрерывные, кусочно-линейные и гладкие отображения или их подклассы: гомеоморфизмы, в частности непрерывные, кусочно-линейные или гладкие (диффеоморфизмы); вложения одного объекта в другой, а также погружения (локальные вложения, иммерсии). Важнейшим понятием алгебраической топологии является понятие деформации. Деформации подвергается отображение (какого-то класса) одного объекта в другой. Основными типами деформаций являются: гомотопия, или произвольная непрерывная (гладкая, кусочно-линейная) деформация непрерывного (гладкого, кусочно-линейного) отображения; изотопия (непрерывная, гладкая, кусочно-линейная) - т. е. деформация гомеоморфизма, вложения или погружения, где в процессе деформации в каждый момент времени отображение остаётся гомеоморфизмом, вложением или погружением. Главные внутренние проблемы алгебраической топологии - это проблемы классификации многообразий относительно гомеоморфизмов (непрерывных, гладких, кусочно-линейных), классификация вложений (погружений) относительно изотопий (регулярных гомотопий), классификация общих непрерывных отображений относительно гомотопий. Важную роль в решении этих задач играет классификация комплексов и многообразий относительно так называемого гомотопического типа или гомотопической эквивалентности.

Наивное понимание грубых топологических различий между трёхмерными геометрическими фигурами существовало уже в глубокой древности. Очевидно, что число дыр или ручек в трёхмерной области (фигуре) не изменится, если её гнуть без разрывов и самопересечений. Сложность узлов, сделанных из корабельных верёвок, привлекла внимание античных греков. Однако первые топологические наблюдения в форме точных математических соотношений и теорем возникли лишь в 18 веке у Л. Эйлера: число вершин минус число рёбер плюс число граней выпуклого многогранника равно 2; как открыл позднее А. Пуанкаре, подобная альтернированная сумма является топологическим инвариантом любого комплекса. Задача о трёх домах и трёх колодцах: доказать, что три дома нельзя соединить с тремя колодцами путями, не пересекающими друг друга. На современном языке, соответствующий граф (одномерный комплекс) нельзя вложить в плоскость без самопересечений.

До 19 века такие наблюдения носили лишь характер игрушек вроде оригинальных олимпиадных задач, порождённых игрой чистого ума. Во 2-й четверти 19 века ситуация изменилась: К. Гаусс пришёл к ряду нетривиальных топологических наблюдений после анализа опытов М. Фарадея, связанных с электромагнитными явлениями. В частности, Гаусс открыл так называемое число зацепления двух замкнутых непересекающихся кривых в трёхмерном пространстве, не меняющееся при деформациях без пересечений. Именно Гаусс и поставил задачу о построении точной теории подобных свойств. Термин «топология» возник в работе его ученика И. Листинга. Топологическую теорию двумерных многообразий сильно продвинул Б. Риман (римановы поверхности). Вообще, двумерная топология, по существу, возникла как важнейшая сторона нового тогда комплексного анализа на плоскости в трудах О. Коши и на двумерных многообразиях с нетривиальной топологией в трудах Н. Абеля, К. Якоби и Римана. Ряд топологических наблюдений был сделан физиками: У. Томсон интересовался узлами. Он исходил из любопытных свойств замкнутых вихревых линий, открытых им в гидродинамике, и хотел применить узлы для классификации атомов (это оказалось ложной идеей). Его ученик П. Тэйт первым начал систематически развивать теорию узлов, в конце 19 века высказал интересные гипотезы, доказанные лишь недавно. Дж. Максвелл обратил внимание на соотношение между числами критических точек функций разных индексов: для изолированного острова число ям минус число перевалов плюс число вершин равно 1. Это отдалённый прообраз идей «теории Морса». А. Пуанкаре начал последовательно применять топологические идеи для анализа качественного поведения траекторий динамических систем, особенно для созданной им теории систем на плоскости. Им же топология была выделена в отдельную область математики, которую он назвал «Анализ Ситус». В числе наиболее простых и фундаментальных топологических характеристик оказались обобщения числа дыр и ручек: это числа Бетти с номером k (числа в определённом смысле независимых k-мерных циклов в исследуемом пространстве, области или многообразии). Эти характеристики и их дальнейшие обобщения получили название гомологий. Пуанкаре дал топологическию классификацию двумерных многообразий. Он ввёл важнейший топологический инвариант — фундаментальную группу пространств, состоящую из гомотопических классов замкнутых путей с началом и концом в одной общей точке - и построил топологическую теорию накрытий. Им открыт так называемый закон двойственности Пуанкаре, утверждающий, что для замкнутых n-мерных многообразий числа Бетти определённых типов с номерами k и n-k совпадают. Проблема классификации трёхмерных многообразий встретила большие трудности: до самого последнего времени не удавалось доказать, что всякое односвязное трёхмерное многообразие (где фундаментальная группа единична) гомеоморфно сфере. Это гипотеза Пуанкаре.

В начале 20 века за этой областью математики закрепилось название топологии. В 1930-х годах, когда алгебраические методы приобрели решающее значение, эта область благодаря С. Лефшецу стала называться алгебраической топологией.

Богатство идей, внесённых топологией, поставило эту область в центр мировой математики начиная с середины 20 века. Например, с 1950 до 2002 года активным математикам, признанным лучшими, возраст которых не превышал 40 лет, было присуждено в общей сложности 44 медали Филдса на Всемирных математических конгрессах. Среди них - Ж. П. Серр (1954), Р. Том (1958), Дж. Милнор (1962), М. Атъя (1966), С. Смейл (1966), С. П. Новиков (1970), Д. Куиллен (1978), У. Тёрстон (1982), С. Доналдсон (1986), М. Фридман (1986), Э. Виттен (1990), У. Джонс (1990), М. Концевич (1998), центральная часть математического вклада которых в те годы относилась к топологии, а также К. Кодайра (1950), А. Гротендик (1966), Д. Мамфорд (1974), П. Делинь (1978), Яу Шинтан (1982), В. Воеводский (2002), работавшие на стыке идей топологии, алгебраической геометрии и гомологической алгебры. С 1954 по 1970-е годы около половины медалей Филдса было присуждено топологам, оказавшим влияние на многие другие области математики.

Лит.: Милнор Дж. Теория Морса. М., 1965; он же. Теорема об h-кобордизме. М., 1969; Topology-1 / Ed. by S. Novikov. В. е. а., 1995; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: В 3 т. М., 2001; Fuks D., Viro О. Homology and cohomology // Topology-11. В. е. а., 2003.