Алгебраическое Уравнение

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, уравнение, имеющее вид F(x₁,…,x_m)=0, где F - многочлен от m переменных, которые называются неизвестными.

Предполагается, что коэффициенты многочлена принадлежат фиксированному основному полю К. Решением алгебраического уравнения называется такой набор х^*₁,..., х^*_m значений неизвестных из поля К (или его расширения), который после подстановки в многочлен F обращает его в нуль. Основной задачей теории алгебраического уравнения является выяснение условий, когда у заданного алгебраического уравнения имеется решение и описание множества всех решений.

Алгебраическое уравнения с одним неизвестным имеет вид

Предполагается, что n>0 и а₀ ≠ 0. Число n называется степенью уравнения, а числа а₀, а₁ ..., а_n - его коэффициентами. Значения неизвестного х, являющиеся решениями уравнения, называются его корнями, а также корнями многочлена F(х). Если α - корень уравнения (1), то многочлен F(х) делится без остатка на (х-α) (теорема Безу). Элемент α основного поля К (или его расширения) называется k-кратным корнем алгебраического уравнения, если многочлен F(х) делится на (х-α)к и не делится на (х-α)к+1. Корни кратности 1 называются также простыми корнями уравнения.

Каждый многочлен степени n с коэффициентами из поля К имеет в К не более n корней, считая корни с учётом их кратностей. Если поле К алгебраически замкнуто, то каждый такой многочлен имеет ровно n корней с учётом их кратностей. В частности, это верно для поля комплексных чисел С (основная теорема алгебры). Из теоремы Безу следует, что F(х) можно представить в виде

где α₁,.....α_n- корни уравнения. Корни и коэффициенты уравнения связаны формулами Виета

Всякое уравнение степени n≤ 4 разрешается в радикалах. Это означает, что для корней уравнения имеются явные формулы, выражающие корни через коэффициенты уравнения и использующие лишь сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня. В случае n=2 (квадратное уравнение) формулы имеют вид

Решения задач, сводящихся к частным видам уравнений 2-й и 3-й степеней, встречаются в клинописных текстах Древнего Вавилона. Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в «Арифметике» Диофанта (3 век). Решение в радикалах уравнений 3-й и 4-й степеней в общем виде было получено итальянскими математиками Дж. Кардано и Л. Феррари в 16 веке. Почти 300 лет делались попытки найти общее решение в радикалах уравнений степеней, больших 4. В 1826 году Н. Абелем было доказано, что это невозможно (однако не исключается возможность существования таких формул для конкретных уравнений степени n>4). Полное решение вопроса о том, при каких условиях алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах, было получено Э. Галуа (около 1830). Вопрос о разрешимости уравнений в радикалах тесно связан с вопросом о геометрических построениях с помощью циркуля и линейки, в частности с делением окружности на n равных частей, с доказательством невозможности удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга.

Для приложений весьма важен случай, когда коэффициенты и корни уравнения являются числами (из полей Z целых, Q рациональных, R действительных или С комплексных чисел); при этом часто используются специальные свойства этих полей (например, наличие в них топологии или упорядоченности). В этом случае с использованием специальных функций можно получить явные формулы для решения уравнений степени, большей 4.

Для практического нахождения корней уравнений с коэффициентами из R и С используют приближённые методы. Для оценки сверху числа действительных корней уравнений с действительными коэффициентами можно использовать теорему Декарта: число положительных корней, с учётом их кратностей, равно или на чётное число меньше числа перемен знаков в последовательности ненулевых коэффициентов уравнения.

Имеются многочисленные оценки для величин корней. Так, над полем С величины |α_i|, i = 1, ..., n, не превосходят

Если коэффициенты вещественны и а₀ ≥а₁≥    ...    ≥a_n≥0, то все корни уравнения лежат на комплексной плоскости в единичном круге.

В связи с изучением вопроса об устойчивости механических систем возникает вопрос о том, когда все корни данного многочлена F(х) имеют отрицательные действительные части (проблема Рауса - Гурвица). Такие многочлены F называются устойчивыми. Основные результаты об устойчивых многочленах принадлежат Ш. Эрмиту, английскому учёному Э. Раусу, немецким математикам А. Гурвицу, И. Шуру.

Системы алгебраических уравнений с несколькими неизвестными изучаются в алгебраической геометрии. В отдельный раздел, теорию диофантовых уравнений, выделяется изучение алгебраических уравнений над незамкнутыми полями, такими, как поле Q.

Системой алгебраических уравнений называется система уравнений, имеющая вид

Системы уравнений степени 1 (линейных уравнений) изучаются в линейной алгебре.

Простейший результат о числе решений системы алгебраических уравнений относится к случаю, когда имеется k однородных уравнений от k + 1 переменной. Все решения х₁^*,...,x_x+1^k объединяются в классы решений λ₁^* ..., λх_k+1^*, где λ≠0 принадлежит полю К. Тогда число ненулевых (классов) решений системы с учётом их кратностей в общем случае равно произведению степеней многочленов F₁, ..., F_k. Условие общности состоит в том, что коэффициенты многочленов F₁, ..., F_k не принадлежат некоторому алгебраическому многообразию в аффинном пространстве А коэффициентов, имеющем строго меньшую размерность, чем А (теорема Безу).

В случае, когда рассматриваются системы неоднородных алгебраических уравнений, для нахождения числа их решений необходимо использовать более тонкие инварианты, чем степень, а именно многогранники Ньютона. Если

где i=(i₁,..i_n) Є Zⁿ то многогранником Ньютона многочлена F называется выпуклая оболочка в пространстве R_n точек i, для которых a_i ≠ 0. Число решений системы арифметических уравнений выражается через многогранники Ньютона многочленов F₁,. . . ,F_k.

Лит.: Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра. Линейная алгебра, многочлены, общая алгебра. М., 1965; Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., 1975; Кострикин А. И. Введение в алгебру. М., 1977; Постников М. М. Устойчивые многочлены. М., 1981; Фадеев Д. К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре. СПб., 2001.