Аналитическое Продолжение

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ, процесс расширения области определения аналитической функции, основанный на теореме единственности. Процесс, позволяющий получить в принципе максимальную область определения для произвольной аналитической функции, был описан в 19 веке К. Вейерштрассом. Исходным является понятие элемента аналитической функции - степенного ряда

W₀ = а₀ + а₁(z-z₀) + ... + a_n(z - z₀)ⁿ + ...

с ненулевым радиусом сходимости. Разлагая элемент W₀ в ряд Тейлора в другой точке z₁ круга сходимости, получают новый элемент W₁, круг сходимости которого может выходить за пределы исходного. Последовательный процесс таких переразложений приводит к некоторой максимальный совокупности элементов, которые образуют полную аналитическую функцию f, порождённую W₀; объединение их кругов сходимости представляет собой (вейерштрассову) область существования D этой функции.

Полная аналитическая функция f, вообще говоря, многозначна в D. Чтобы избавиться от многозначности, f рассматривают как функцию точек некоторой многолистной поверхности R; каждой точке области D соответствует столько точек поверхности R, сколько различных элементов с центром в этой точке принадлежит функции f. Идея перехода к таким поверхностям (называемым римановыми поверхностями) принадлежит Б. Риману.

Использование аналитического продолжения по К. Вейерштрассу малоэффективно, поэтому для многих классов аналитических функций разрабатываются различные методы аналитического продолжения, основанные, например, на функциональных соотношениях, интегральных представлениях, разложениях в непрерывные дроби, разложениях в ряды по системам аналитических функций, на интерполяции элементов рациональными функциями со свободными полюсами (аппроксимации Паде и их обобщения).

Лит.: Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных. М., 1964; Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М., 1967; Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. 14-е изд. М., 1999.