Декартова систeма координат

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ, прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве, в которой положение точки может быть определено как её проекции на фиксированные прямые, пересекающиеся в одной точке, называемой началом координат. Эти проекции называются координатами точки, а прямые - осями координат.

В общем случае на плоскости декартова система координат (аффинная система координат) задаётся точкой О (началом координат) и упорядоченной парой приложенных к ней не лежащих на одной прямой векторов е₁ и е₂ (базисных векторов). Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называют осями координат данной декартовой системы координат. Первая, определяемая вектором е₁, называется осью абсцисс (или осью Ох), вторая - осью ординат (или осью Оу). Сама декартова система координат обозначается Ое₁е₂ или Оху. Декартовыми координатами точки М (рисунок 1) в декартовой системе координат Oe₁е₂ называется упорядоченная пара чисел (х, у), которые являются коэффициентами разложения вектора ОМ по  базису {е₁, е₂}, то есть х и у таковы, что ОМ = хе₁ + уе₂. Число х, -∞ < x < ∞, называется абсциссой, чис­ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).

Если на плоскости введены две декартовы системы координат Oe₁e₂ и 0’е’₁е’₂ так, что векторы базиса {е’₁, е’₂} выражены через векторы базиса {e₁ ,е₂} формулами

e’₁= a₁₁e₁ + a₁₂е₂ , е’₂  =  а₂₁e₁ + a₂₂e₂

и точка О’ имеет в декартовой системе координат Оe₁e₂ координаты (х₀, у₀), то координаты (х, у) точки М в декартовой системе координат Оe₁e2 и координаты (х’, у’) той же точки в декартовой системе координат О’е₁е’₂ связаны соотношениями

х = а₁₁х’ + а₂₁у’ + х₀, у = а₁₂х’+ а₂₂у’+ у₀.

Декартову  систему координат называют прямоугольной, если базис {е₁, е₂} ортонормированный, то есть векторы е₁ и е₂ взаимно перпендикулярны и имеют длины, равные единице (векторы е₁ и е₂ называют в этом случае ортами). В прямоугольной декартовой системе координат координаты х и у точки М суть величины ортогональных проекций точки М на оси Ох и Оу соответственно. В прямоугольной декартовой системе координат Оху расстояние между точками М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂) равно √(х₂-х₁)² + (y₂-y₁)² 

Формулы перехода от одной прямоугольной декартовой системы координат Оху к другой прямоугольной декартовой системе координат О’х’у’, начало которой О’ декартовой системы координат Оху есть О’(х0, у0), имеют вид

х = х’cosα - у’sinα + х₀ , у = х’sin α + у’cosα + у₀

или

х = х’cosα + у’sinα + х₀ , у = х’sinα - у’cosα + у₀.

В первом случае система О’х’у’ образуется поворотом базисных векторов е₁; е₂ на угол α и последующим переносом начала координат О в точку О’ (рисунок 2),

а во втором случае - поворотом базисных векторов е₁, е₂ на угол α, последующим отражением оси, содержащей вектор е₂ относительно прямой, несущей вектор е₁, и переносом начала координат О в точку О’ (рисунок 3).

Иногда используются косоугольные декартовы системы координат, отличающиеся от прямоугольной тем, что угол между единичными базисными векторами не является прямым.

Аналогично определяется общая декартова система координат (аффинная система координат) в пространстве: задаётся точка О – начало координат и упорядоченная тройка приложенных к ней не лежащих в одной плоскости векторов е₁, е₂, е₃ (базисных векторов). Как и в случае плоскости, определяются оси координат - ось абсцисс (ось Ох), ось ординат (ось Оу) и ось аппликат (ось Оz) (рисунок 4).

Декартова  система координат в пространстве обозначается Oe₁е₂е₃ (или Oxyz). Плоскости, проходящие через пары осей координат, называются координатными плоскостями. Декартова  система координат в пространстве называется правой, если поворот от оси Ох к оси Оу совершается в направлении, противоположном движению часовой стрелки, если смотреть на плоскость Оху из какой-нибудь точки положительной полуоси Оz, в противоположном случае декартова система координат называется левой. Если базисные векторы е₁, е₂, е₃ имеют длины, равные единице, и попарно перпендикулярны, то декартова система координат называется прямоугольной. Положение одной прямоугольной декартовой системы координат в пространстве относительно другой прямоугольной декартовой системы координат с той же ориентацией определяется тремя эйлеровыми углами.

Декартова  система координат названа по имени Р. Декарта, хотя в его сочинении «Геометрия» (1637) рассматривалась косоугольная система координат, в которой координаты точек могли быть только положительными. В издании 1659-61 годов к «Геометрии» приложена работа голландского математика И. Гудде, в которой впервые допускаются как положительные, так и отрицательные значения координат. Пространственную декартову систему координат ввёл французский математик Ф. Лаир (1679). В начале18 века установились обозначения х, у, z для декартовых координат.