Дисперсия

ДИСПЕРСИЯ (латинский dispersio - рассеяние), одна из числовых характеристик распределения вероятностей случайной величины, наиболее употребительная мера рассеяния её значений. Дисперсия DX случайной величины Х определяется как математическое ожидание Е(Х - m)² квадрата отклонения Х от её математического ожидания m= ЕХ. Для случайной величины Х с дискретным распределением pk = Р{Х = xk}, k = 1, 2, ..., дисперсия определяется равенством

при условии, что ряд сходится. Для случайной величины Х с непрерывным распределением, имеющим плотность вероятности р(х), дисперсия  определяется  равенством

если этот интеграл сходится.

Наряду с дисперсией в качестве меры рассеяния (той же размерности, что и сама случайная величина) используется величина ς = √DX, называемая квадратичным отклонением Х. Величина DX = 0 тогда и только тогда, когда случайная величина Х принимает с вероятностью 1 единственное значение m. Дисперсия  обладает свойством минимальности в том смысле, что

При этом минимум достигается при а = m. Интерпретация DX (и ς) как характеристики рассеяния основана на Чебышева неравенстве для вероятностей отклонений случайной величины от её математического ожидания. В теории вероятностей большое значение имеет теорема о том, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин. Это свойство выделяет дисперсию среди других характеристик рассеяния. В математической статистике важную роль для характеристики качества статистических оценок играет их дисперсия.

Лит.: Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. 3-е изд. М., 1987.