Гармонический анализ

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (анализ Фурье), раздел математического анализа, изучающий представления функций, описывающих сложные колебания, с помощью более простых функций, например гармоник вида А sin(ωх + φ), где А, ω, φ - постоянные, а Х - переменная. К гармоническому анализу относят теорию Фурье рядов, теорию Фурье интегралов, теорию почти периодических функций, вопросы, связанные с ортогональными разложениями и приближениями функций тригонометрическими полиномами. В гармоническом анализе изучаются функции как одной, так и многих переменных.

Периодическая функция при не очень жёстких дополнительных условиях равна сумме своего ряда Фурье, являющегося рядом из гармонических компонент, коэффициентами которых служат Фурье коэффициенты функции. Для представления непериодических функций используются интегралы Фурье.

Гармонический анализ зародился в середине 18 века при исследовании задачи о колебании струны. Важную роль в развитии гармонического анализа сыграли работы Ж. Б. Фурье начала 19 века. В самостоятельную математическую дисциплину гармонический анализ оформился в конце 19 - начале 20 века. В дальнейшем обнаружились тесные связи гармонического анализа с общими проблемами теории функций и функционального анализа.

Методы гармонического анализа используются во многих областях математики: в комплексном анализе при изучении граничных свойств аналитических функций, в математической физике для решения уравнений с частными производными Фурье методом, в теории вероятностей для изучения свойств распределений случайных величин с помощью характеристических функций, а также в физике и технике.

Разработаны разнообразные приёмы так называемого практического гармонического анализа, служащие для приближённого вычисления коэффициентов Фурье и нахождения полиномов, аппроксимирующих заданную функцию, когда точное решение затруднительно или невозможно (например, когда функция задана графиком или таблицей значений).

Лит.: Серебренников М. Г. Гармонический анализ. М.; Л., 1948; Толстов Т. П. Ряды Фурье. 3-е изд. М., 1980; Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 8-е изд. М., 2003. Т. 3.