Гольдбаха проблема

ГОЛЬДБАХА ПРОБЛЕМА, проблема представимости каждого нечётного числа, большего 6, в виде суммы трёх простых чисел. Гольдбаха проблема сформулирована Х. Гольдбахом (1742) в письме к Л. Эйлеру. Эйлер заметил, что для решения этой проблемы достаточно доказать, что каждое чётное число, большее 3, есть сумма двух простых чисел. Эти гипотезы называются соответственно проблемами Гольдбаха и Эйлера, а иногда тернарной и бинарной Гольдбаха проблемой. Первым шагом на пути к решению Гольдбаха проблемы была теорема, доказанная Г. Харди и Дж. Литлвудом (1922) о том, что если верна расширенная гипотеза Римана (все нетривиальные нули всех L-функций Дирихле лежат на одной прямой), то каждое достаточно большое нечётное число есть сумма трёх простых чисел. Российским математиком Л. Г. Шнирельманом доказана теорема (1930) о том, что каждое натуральное число есть сумма ограниченного числа простых чисел. В 1937 И. М. Виноградов создал новый метод в аналитической теории чисел (Виноградова метод), с помощью которого получил асимптотическую формулу для числа представлений нечётного числа суммой трёх простых чисел. Из этой формулы следует, что каждое достаточно большое нечётное число, то есть нечётное число, большее некоторой постоянной с, называемой константой Виноградова, есть сумма трёх простых чисел, таким образом, Гольдбаха проблема получила полное решение для всех достаточно больших нечётных чисел. Другое доказательство тернарной Гольдбаха проблемы дано Ю. В. Линником (1945). Первая оценка константы Виноградова, lg с ≤6 000 000, была получена российским учёным К. Бороздкиным (1939). Оценка lg с ≤3100 получена китайскими математиками М.Ч. Лю и Т. 3. Ваном (2002). Предполагая справедливость расширенной гипотезы Римана, Ж. М. Дезуйе (Франция), Д. В. Зиновьев (Россия), Х. Т. Риле (Нидерланды) и Г. Эффингер (США) доказали (1997), что с = 6. Проблема Эйлера (бинарная Гольдбаха проблема) ещё не решена (2006), известна лишь доказанная китайским математиком Дж. Р. Ченом (1966) теорема о том, что каждое достаточно большое чётное число есть сумма простого числа и числа, являющегося произведением не более чем двух простых чисел.

Лит.: Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд. М., 1980; Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М., 1983.