Интегральное многообразие

ИНТЕГРАЛЬНОЕ МНОГООБРАЗИЕ системы дифференциальных уравнений

множество S точек расширенного фазового пространства (пространства переменных (t, х)), которое заполнено интегральными кривыми этой системы (т. е. графиками её решений), определёнными для всех t є R, и для которого координаты Х его точек (t, х) при любом фиксированном t образуют многообразие S_t в фазовом пространстве этой системы (пространстве переменной х). Иногда говорят, что многообразие S_t в расширенном фазовом пространстве, точки которого при изменении t изменяют своё положение согласно (*), как бы шевелится, это - наглядный образ интегрального многообразия. Дополнительно часто подразумевают какое-либо условие о характере зависимости S_t от t. Например, если Х(t, х) зависит от t периодически, интересуются теми S, для которых S_t также зависит от t периодически. При определении интегрального многообразия иногда требуют аналитической представимости множества S_t уравнением х = f(t,С), где функция f, заданная для всех t є R и для С = (С₁,... ,С_m) из некоторой области D, обладает определённой гладкостью по (t, С) при (t, С) є R х D. В этом случае интегральное многообразие называют m-мерным той же гладкости, какова гладкость функции f.

Примеры: интегральная кривая периодического решения системы (*), т. е. периодическая интегральная кривая; семейство интегральных кривых системы (*), образованное семейством квазипериодических решений системы (*), заполняющих w-мерный тор в пространстве переменной х при t = 0, то есть m-мерное тороидальное интегральное многообразие.

Наиболее изученные интегральные многообразия - тороидальные многообразия, для которых S_t являются торами при любом фиксированном t є R. Эти многообразия часто встречаются в системах вида (*), описывающих колебательные процессы.

Родственным интегральным многообразиям является понятие инвариантного многообразия автономной системы [системы с не зависящей от t правой частью (*)]. В этом случае интерес представляют интегральные многообразия S, для которых S_t не зависит от t; они называются инвариантными многообразиями.

Лит.: Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике. К., 1945; Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. М., 1964; Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. К., 1969; Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М., 1973; Арнольд В. И. Математические методы классической механики. 5-е изд. М., 2003.