Интерполяция

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ (от латинского interpolate - подновление, изменение) в математике, метод восстановления (обычно приближённого) функции по значениям самой функции и, возможно, некоторых её производных на конечном множестве точек. Например, если с помощью таблицы значений функции f нужно найти её значение в точке х, не входящей в таблицу, находят 2 соседних значения аргумента х₁ и х₂, х₁ < х < х₂, и пользуются формулой кусочно линейной интерполяции

Для решения задач интерполяции часто используются многочлены Р_n(х) =∑ⁿ_k=0c_kx^k , где c_k - действительные числа. Такой выбор аппроксимирующих функций связан с тем, что многочленами можно сколь угодно точно приблизить любую непрерывную функцию на конечном отрезке.

Рассматриваются 3 типа задач.

1.Простая (лагранжева) интерполяция. Функция f(х) задана в точках (узлах интерполяции) а≤ х₀ <х₁ < ...< х_n ≤ b. Ищется многочлен Рn(х), удовлетворяющий условиям Р_n(х_i)(х_i) = f(х_i), i = 0, 1…n.

2.Кратная (эрмитова) интерполяция. Заданы значения функции и её производных f^(s)(х_i), s = 0, 1,...,k_i k_i - натуральные числа, i = 0, 1 ,..,n. Ищется многочлен Ρ_Ν(x), степени N равной ∑ⁿ_i=0 (k_i +1) -1, удовлетворяющий условиям P_N^(s)(х_i) = f^(s)(x_i), s = 0, 1, ...,k _i; i = 0, 1,...,n.

3.Биркгофова интерполяция аналогична предыдущей, но в отдельных точках могут не задаваться значения функции или значения её производных. Задачи 1 и 2 всегда разрешимы, их решения выписываются в явном виде. Задача 3 может не иметь решения.

Если на [а, b] непрерывна производная f⁽ⁿ⁺¹⁾(х) и |f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)| ≤ М, то для последовательности интерполяционных многочленов Лагранжа справедлива оценка

Однако даже в этом случае при задании f(x_i) с погрешностью модуль P_n(х) при росте n неограниченно возрастает. Поэтому использовать многочлены высокой степени для восстановления функций не рекомендуется. Кроме того, для любой последовательности узлов интерполяции существует непрерывная на [а, b] функция, для которой последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа не сходится к этой функции.

Кусочно линейная интерполяция не имеет подобных недостатков. Последовательность интерполяционных ломаных сходится к интерполируемой непрерывной функции при условии, что максимальное расстояние между соседними узлами интерполяции стремится к нулю. Если же значения функции в узлах интерполяции заданы с погрешностью δ, то к погрешности кусочно линейной аппроксимации добавляется слагаемое, по модулю не превосходящее δ. Аналогичными свойствами обладают полиномиальные сплайны произвольной степени k дефекта 1 с равномерными узлами склейки и интерполяции. Кусочно линейная функция - это полиномиальный сплайн степени 1 дефекта 1. Кроме многочленов и полиномиальных сплайнов, в задачах интерполяции используются тригонометрические многочлены, рациональные функции (отношения многочленов) и другие системы сплайнов.

Методы интерполяции используются для приближённого интегрирования, в машинной графике, при численном решении дифференциальных уравнений. Развиваются также методы интерполяции для функций нескольких переменных. При этом проблемы разрешимости задач интерполяции оказываются более сложными. Многомерные задачи кусочно полиномиальной интерполяции используются в методах численного решения краевых задач для уравнений с частными производными.

Лит.: Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. М., 1954; Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М., 1976; Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М., 1980; Shumaker L. L. Spline functions: basic theory. Malabar, 1993.