Изопериметрическое неравенст­во

ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО, неравенство между объёмом V области в евклидовом пространстве Eⁿ, n≥ 2, и (n - 1)-мерной площадью F гиперповерхности, ограничивающей эту область:

где v_n - объём единичного w-мерного шара. Так, например, 4πS ≤ F², где S - площадь, а F - периметр плоской области. Равенство имеет место только для n-мерного шара. Для n = 2 и n = 3 изопериметрическое неравенство известно с глубокой древности, оно даёт решение простейших изопериметрических задач: на плоскости среди всех кривых заданной длины найти такую, которая ограничивает максимальную площадь, и в трёхмерном пространстве среди всех поверхностей заданной площади найти такую, которая ограничивает максимальный объём. Решением первой из этих задач является окружность, а второй - сфера. Строгое доказательство изопериметрического неравенства для n=2 дано немецким учёным Ф. Эдлером (1882), для n = 3 - Г. Шварцем (1890) и для всех n≥ 2 - Л. А. Люстерником (1935).

Лит.: Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. М., 1966; Бураго Ю. Д. Неравенства изопериметрического типа в теории поверхностей ограниченной внешней кривизны. Л., 1968; Полна Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. 2-е изд. М., 2006.