Квазиконформное отображение

КВАЗИКОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, одно из обобщений конформного отображения. Сохраняющее ориентацию непрерывное отображение у = f(х) области G⊂R_n в пространство R_n, n ≥ 2, называется конформным в точке х₀ ∈ G, если оно сохраняет форму бесконечно малых фигур, содержащих эту точку, т. е. если каждая малая фигура К ⊂ G, содержащая точку х₀, отображается в фигуру f(К), f(х₀) ∈ f(К),подобную К с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем диаметр К. При квазиконформном отображении форма таких фигур, вообще говоря, не сохраняется, но искажения допускаются лишь в ограниченных пределах. Если в точке х₀ ∈ G отображение f имеет полный дифференциал и положительный якобиан, то шары В(х₀, r) с центрами в х₀ и малыми радиусами r > 0 при отображении у = f (х) переходят (с погрешностями более высокого порядка, чем r) в соосные и подобные между собой эллипсоиды с центрами в у₀ = f (х₀). Отношение Q(f , х₀) длины наибольшей полуоси к длине наименьшей полуоси у каждого из этих эллипсоидов называется коэффициентом квазиконформности отображения f в точке х₀. Если для некоторого числа Q ≥ 1 справедливо неравенство Q(f , х₀) ≤ Q при любом х₀ ∈ G, то отображение f называется Q-квазиконформным в G. При n ≥ 3 семейство всех конформных отображений состоит лишь из так называемых мёбиусовых отображений - параллельных переносов, поворотов, подобий, симметрий относительно плоскостей и сфер, а также из всевозможных конечных комбинаций последовательно выполняемых таких отображений (рассматриваются лишь сохраняющие ориентацию отображения). Семейство квазиконформных отображений существенно шире.

Основополагающими в теории квазиконформных отображений были почти одновременно вышедшие (1928) работы М. А. Лаврентьева и немецкого математика Г. Грётша.

Лит.: Лаврентьев М. А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. М., 1962; Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М., 1969.