Лагранжа функция

ЛАГРАНЖА ФУНКЦИЯ (кинетический потенциал), функция, введённая Ж. Лагранжем для описания движений механических голономных систем, находящихся под действием потенциальных сил. Выражается через обобщённые координаты q_i, обобщённые скорости q_i, время t и равна разности между кинетической энергией Т и потенциальной энергией П механической системы: L(q_i, q_i, t) = T(q_t, q_t, t) - П(q_t), где i= 1, ..., n (n - число степеней свободы системы).

Лагранжа функция L, как и Гамильтона функция Н, полностью характеризует голономную консервативную механическую систему. При помощи Лагранжа функции уравнения движения системы записываются в форме Лагранжа уравнений 2-го рода. Лагранжа функция входит в выражение для физической величины действия, которое используется, например, при формулировке наименьшего действия принципа.

Понятие «Лагранжа функция» применимо и к некоторым другим механическим системам (к системам с бесконечным числом степеней свободы, изучаемых, например, в теории упругости). В этом случае Лагранжа функция не обязательно определяется как разность кинетической и потенциальной энергий и является произвольной функцией L(q_i, q_i, t), удовлетворяющей некоторым условиям (матрица вторых производных от Лагранжа функции по обобщённым скоростям должна быть невырожденной). В квантовой теории поля аналогом Лагранжа функции является оператор - лагранжиан.

В. М. Морозов.