Лагранжа уравнения

ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ механики, обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, описывающие движение механических систем под воздействием приложенных к ним сил. Выведены Ж. Лагранжем в 1788 в двух формах: Лагранжа уравнения 1-го рода - уравнения в декартовых координатах с неопределенными множителями Лагранжа, и Лагранжа уравнения 2-го рода - уравнения в обобщённых лагранжевых координатах.

Лагранжа уравнения 1-го рода имеют вид

Лагранжа уравнения

fs1, ..., х3N, t) = 0 (s = 1, ..., k) - геометрические связи, φr1 ..., х3N, х1, ..., х3N, t) = 0 (r = 1, ..., m) – кинематические связи, накладываемые на механическую систему; N - число точек системы; t -время; k и m - число геометрических и кинематических связей соответственно; xv - декартовы координаты (ẋv - скорости, ẍv - ускорения) точек; mv - массы точек; Хv - проекции на оси координат заданных активных сил; λs, μr - неопределённые множители Лагранжа, пропорциональные реакциям связей. Дифференциальные уравнения (1) вместе с k + m уравнениями связей составляют замкнутую систему уравнений относительно 3N + k + m неизвестных xv, λs, μr. На практике Лагранжа уравнения 1-го рода применяются редко.

Реклама

Лагранжа уравнения 2-го рода могут быть выведены из Д’Аламбера - Лагранжа принципа или из наименьшего действия принципа. Лагранжа уравнения 2-го рода представляют собой дифференциальные уравнения движения несвободной механической системы, на которую наложены голономные удерживающие идеальные связи (смотри Связи механические). Неизвестными величинами в этих уравнениях являются обобщённые координаты qi (i = 1, ..., n) - независимые параметры, определяющие положение механической системы; их число n равно числу степеней свободы системы. Лагранжа уравнения 2-го рода имеют вид

Лагранжа уравнения

Здесь qi - обобщённые скорости, Т - кинетическая энергия системы, Qi - обобщённые активные силы. Если некоторые связи не являются идеальными, то соответствующие им реакции связей (силы трения) добавляют к действующим на систему активным силам. Уравнения (2) представляют собой систему n обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неизвестными функциями. Форма Лагранжа уравнения не зависит от выбора обобщённых координат. При другом выборе изменились бы только функции T и Q, а сама форма уравнений (2) осталась бы той же.

Система уравнений движения (2) имеет наименьший возможный порядок 2n. В этом, а также в отсутствии в уравнениях (2) неизвестных реакций связей состоит большое преимущество уравнений (2) по сравнению с Лагранжа уравнением 1-го рода, которое делает их удобными для практического использования. Общее решение уравнений (2) зависит от 2n произвольных постоянных (начальных условий): начальных значений обобщённых координат и обобщённых скоростей. Уравнения (2) всегда разрешимы относительно обобщённых ускорений qi, т.к. квадратичная часть функции Т(qi, qi, t) является положительно определённой квадратичной формой переменных qi. Если силы, действующие на механическую систему, потенциальны, то Qi = ∂∏l/∂qi (i= 1, ..., n), где ∏(q1, ..., qn, t) - потенциальная энергия системы. В таком случае уравнения (2) принимают вид

Лагранжа уравнения

где L(qi, qi, t) = Т - П - Лагранжа функция.

В физике важную роль играют Лагранжа уравнения именно в форме (2), поскольку в соответствии с принципом наименьшего действия экстремальное значение действия определяется из следующего условия: функция L должна удовлетворять уравнениям (3). Лагранжа уравнения вида (3) справедливы для любой физической системы (сплошная среда, гравитационное или электромагнитное поле и др.), для которой справедлив принцип наименьшего действия.

В гидроаэродинамике Лагранжа уравнениями называют уравнения движения жидкости (газа) в переменных Лагранжа, которыми являются время t и некоторые независимые параметры ai (i = 1, 2, 3), описывающие характеристики отдельной частицы среды (например, её декартовы координаты в некоторый начальный момент времени). Эти Лагранжа уравнения представляют собой уравнения в частных производных и имеют вид

Лагранжа уравнения

Здесь х, у, z - координаты частицы среды, Х, Y, Z - проекции объёмных сил, р - давление, ρ - плотность среды.

К уравнениям (4) следует добавить неразрывности уравнение (тоже в переменных Лагранжа) и уравнение состояния, например в виде ρ = f(р). При решении конкретных задач эту совокупность уравнений дополняют начальными и граничными условиями. Альтернативой Лагранжа уравнений являются Эйлера уравнения.

Лит.: Лагранж Ж. Аналитическая механика. М.; Л., 1950. Т. 1-2; Лурье А. И. Аналитическая механика. М., 1961; Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. 6-е изд. М., 1963. Ч. 1.

В. М. Морозов.