Вариационные принципы механи­ки

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ, основные, исходные положения аналитической механики, выраженные математически в виде условий, которые позволяют выделить истинное, то есть фактически происходящее под действием заданных сил, движение механической системы из других кинематически возможных, то есть допускаемых связями механическими, движений этой системы. В большинстве случаев признаком, по которому истинное движение выделяется из рассматриваемого класса кинематически возможных движений, служит условие экстремальности некоторой скалярной функции (или функционала), зависящей от характеристик системы.

Вариационные принципы механики обладают общим свойством: из них могут быть получены дифференциальные уравнения движения механических систем (при соответствующих предположениях о характере наложенных на систему связей и действующих сил). Другими словами, тот или иной вариационный принцип механики как бы объединяет все положения механики соответствующих материальных систем в единой формулировке. Классическая механика основывается на законах Ньютона, установленных для свободных материальных точек, и аксиомах связей. Справедливость вариационного принципа механики доказывается исходя из этих законов и аксиом. В свою очередь, любой из вариационных принципов механики можно принять за аксиому и из неё логически вывести законы механики.

Вариационные принципы механики различаются по форме и способам варьирования, а также по общности их применения по отношению к различным механическим системам. По форме они подразделяются на дифференциальные и интегральные принципы. Первые дают критерии истинного движения для данного фиксированного момента времени, а вторые - на конечном интервале времени. К дифференциальным вариационным принципам механики относятся: возможных перемещений принцип, Гаусса принцип (принцип наименьшего принуждения) и тесно примыкающий к нему Герца принцип (принцип наименьшей кривизны), Д’Аламбера - Лагранжа принцип и др. К интегральным вариационным принципам механики относится наименьшего действия принцип, различные формы которого отличаются друг от друга классом сравниваемых кинематически возможных движений системы и выбором некоторого определённого интеграла (называемого действием), значение которого сравнивается для истинного и кинематически возможных движений.

Дифференциальные вариационные принципы механики являются более общими и справедливы для любых механических систем, удерживаемых идеальными связями и находящихся под действием произвольных сил. Интегральные вариационные принципы механики сформулированы при более жёстких предположениях относительно связей и сил: связи должны быть ещё и голономными, а силы - потенциальными.

Вариационные принципы механики применимы не только к дискретным материальным системам, но и к системам с распределёнными параметрами, сплошным средам; они играют важную роль в теории поля и математической физике. Вариационные принципы механики распространены и на другие области физики, в частности на теорию относительности и квантовую механику.

Литературу смотри при статье Аналитическая механика.

В. М. Морозов.