Взаимности теория

ВЗАИМНОСТИ ТЕОРИЯ. В основе взаимности теории лежат четыре основных принципа (теоремы) взаимности.

Принцип взаимности работ (теорема Бетти): при рассмотрении двух состояний (i и k) упругого тела, каждое из которых определяется действием обобщённой силы соответственно Р_i или Р_k, работа внешних или внутренних сил состояния i на вызванных деформацией перемещениях состояния k(W_ik) равна работе сил состояния k на перемещениях состояния i(W_ki ), т.е. W_ik = W_ki.

Принцип взаимности работ доказан итальянским учёным Э. Бетти (1872). Следствием принципа взаимности работ являются теоремы взаимности перемещений, взаимности реакций и теорема взаимности реакций и перемещений.

Теорема взаимности перемещений (теорема Максвелла): при рассмотрении двух состояний тела (i и k), каждое из которых определяется действием единичной обобщённой силы соответственно Р_i или Р_k, перемещение состояния i по направлению действия силы P_k(δ_ki) равно перемещению состояния k по направлению силы P_i(δ_ki) , т. е. δ_ki =δ_ik (рис. 1). Теорема опубликована Дж. К. Максвеллом в 1864.

Теорема взаимности реакций (теорема Рэлея): при рассмотрении двух состояний тела (i и k), каждое из которых определяется единичным смещением связи соответственно i или k, реакция в связи k i-гo состояния (r_ki) равна реакции в связи i k-гο состояния ( r_ik), т.е. r_ki = r_ik (рис. 2). Теорема о взаимности реакций была опубликована Дж. У. Рэлеем в 1873.

Теорема взаимности реакций и перемещений: при рассмотрении двух состояний тела (i и k), каждое из которых определяется соответственно действием единичной обобщённой силы P_i и единичным смещением связи k, реакция в связи k i-гo состояния (r_ki) равна по величине и обратна по знаку перемещению состояния k по направлению силы P_i δ_ik, т. e. r_ki = δ_ik (рис. 3). Теорема доказана Дж. К. Максвеллом в 1864 и Дж. У. Рэлеем в 1873.

Впервые принцип взаимности для однородной квадратичной формы был сформулирован О. Коши в 1857 году. Если рассматривать квадратичную форму как выражение потенциальной энергии, то отсюда следует один из важнейших принципов механики упругих тел - принцип взаимности работ. Однако Коши такого вывода не сделал.

Взаимности теорию широко применяют в строительной механике при расчётах упругих систем.

Н. Н. Белов.