Аналитическая Механика

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА, раздел классической механики, рассматривающий такие системы материальных точек или тел, состояние которых может быть строго описано заданием конечного числа параметров. Аналитическая механика включает в себя вариационные принципы механики, выводимые из них основные уравнения движения голономных и неголономных систем, исследование этих уравнений, канонические преобразования и ряд других вопросов.

Аналитическая механика сложилась в самостоятельную научную дисциплину в 18 веке. В трудах Л. Эйлера, Ж. Д’Аламбера и Ж. Лагранжа были разработаны понятия связей, обобщённых координат, степеней свободы, сформулированы общие вариационные принципы механики, получены общие уравнения движения. Интенсивное развитие аналитической механики происходило в 19 веке. В работах К. Гаусса, У. Гамильтона, К. Якоби, М. В. Остроградского и других ученых были разработаны новые вариационные принципы, установлена аналогия между некоторыми задачами механики и оптики, введены понятия обобщённых импульсов, неголономных систем, характеристической Гамильтона функции, составлены канонические уравнения механики, разработаны общие методы интегрирования дифференциальных уравнений механики, введены канонические преобразования. Новые идеи были привнесены в аналитическую механику в конце 19 - начале 20 века. А. Пуанкаре ввёл понятие интегральных инвариантов и использовал его при изучении устойчивости движения механических систем. А. М. Ляпунов ввёл строгое определение устойчивости движения и разработал два метода её исследования. В 20 веке активно развивалась теория интегрирования Гамильтона уравнений, в конце 20 века сформировалось новое направление аналитической механики, связанное с применением методов современной дифференциальной геометрии и топологии.

Одно из основных понятий аналитической механики - возможные (виртуальные) перемещения, определяемые наложенными на механическую систему связями (смотри Связи механические). При изучении движения механической системы применяется метод обобщённых координат. Такое описание движения обладает большой универсальностью и позволяет решать сложные задачи, относящиеся не только к чисто механическим, но и к электрическим и электромеханическим явлениям.

Точное решение уравнений движения реальных механических систем возможно в редких случаях, например, в некоторых задачах небесной механики и динамики твёрдого тела. Эти случаи имеют очень важное значение, так как часто используются при приближённом решении более сложных реальных задач с помощью возмущений теории.

Методы аналитической механики оказались применимы не только к системам с конечным числом степеней свободы, но и к системам с распределёнными параметрами, к сплошным средам. Методы аналитической механики распространяются на такие области теоретической физики, как классическая теория поля, квантовая механика, теория относительности и др.

Лит.: Аппель П. Теоретическая механика. М., I960; Лурье А. И. Аналитическая механика. М., 1961; Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. 3-е изд. М., 2001.