Дифференциальное исчисление

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математического анализа, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применение к исследованию функций. Дифференциальное  исчисление сложилось как самостоятельная дисциплина во 2-й половине 17 века под влиянием трудов И. Ньютона и Г. В. Лейбница, в которых они сформулировали основные положения дифференциального исчисления и отметили взаимно обратный характер дифференцирования и интегрирования. С этого времени дифференциальное исчисление развивалось в тесной связи с интегральным исчислением, составляя вместе с ним основную часть математического анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики, повлекло за собой появление ряда новых математических дисциплин (теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления, функционального анализа) и существенно расширило возможности приложений математики к вопросам естествознания и техники.

Дифференциальное  исчисление основывается на таких фундаментальных понятиях, как действительное число, функция, предел, непрерывность. Эти понятия приняли современный вид в ходе развития дифференциального и интегрального исчислений. Основные идеи и понятия дифференциального исчисления связаны с изучением функций в малом, т. е. в малых окрестностях отдельных точек, для чего требуется создание математического аппарата для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки области их определения близко к поведению линейной функции или многочлена. Этот аппарат основан на понятиях производной и дифференциала. Понятие производной возникло в связи с большим числом различных задач естествознания и математики, приводящих к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из этих задач - определение скорости движения материальной точки вдоль прямой линии и построение касательной к кривой. Понятие дифференциала связано с возможностью приближения функции в малой окрестности рассматриваемой точки линейной функцией. В отличие от понятия производной функции действительной переменной, понятие дифференциала легко переносится на функции более общей природы, в том числе на отображения одного евклидова пространства в другое, на отображения банаховых пространств в другие банаховы пространства и служит одним из основных понятий функционального анализа.

Производная. Пусть материальная точка движется вдоль оси Оу, а х обозначает время, отсчитываемое от некоторого начального момента. Описание этого движения даёт функция у = f(х), ставящая в соответствие каждому моменту времени х координату у движущейся точки. Эту функцию в механике называют законом движения. Важной характеристикой движения (особенно если оно является неравномерным) является скорость движущейся точки в каждый момент времени х (эту скорость называют также мгновенной скоростью). Если точка движется по оси Оу по закону у = f(х), то в произвольный момент времени х она имеет координату f(х), а в  момент  времени  х + Δх – координату  f(х + Δх), где Δх – приращение времени. Число Δy = f(х + Δх) - f(х), называемое приращением функции, представляет собой путь, пройденный движущейся точкой за время от  х до х + Δх. Отношение

называемое разностным отношением, представляет собой среднюю скорость движения точки в промежутке времени от х до х + Δх. Мгновенной скоростью (или просто скоростью) движущейся точки в момент времени х называется предел, к которому стремится  средняя  скорость (1) при стремлении к нулю промежутка времени Δх, т. е. предел (2)

Понятие мгновенной скорости приводит к понятию производной. Производной произвольной функции у = f(х) в данной фиксированной точке х называется предел (2) (при условии, что этот предел существует). Производную функции у = f(х) в данной точке х обозначают одним из символов f’(х), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Операцию нахождения производной (или перехода от функции к её производной) называют дифференцированием.

К пределу (2) приводит и задача построения касательной к плоской кривой, определяемой в декартовой системе координат Оху уравнением у = f(х), в некоторой её точке М (х, у) (рис.). Задав аргументу х приращение Δх и взяв на кривой точку М’ с координатами (х + Δх, f(х) + Δх)), определяют касательную в точке М как предельное положение секущей ММ’ при стремлении точки М’ к М (т. е. при стремлении Δх к нулю). Т. к. точка М, через которую проходит касательная, задана, построение касательной сводится к определению её углового коэффициента (т. е. тангенса угла её наклона к оси Ох). Проведя прямую МР параллельно оси Ох, получают, что угловой коэффициент секущей ММ’ равен  отношению

В пределе при Δх → 0 угловой коэффициент секущей переходит в угловой коэффициент касательной, который оказывается равным пределу (2), т. е. производной f’(х).

К понятию производной приводит и ряд других задач естествознания. Например, сила тока в проводнике определяется как предел lim_Δt→0 Δq/Δt, где Δq - положительный электрический заряд, переносимый через сечение проводника за время Δt, скорость химической реакции определяется как lim_Δt→0 ΔQ/Δt, где  ΔQ – изменение количества вещества за время Δt и, вообще, производная некоторой физической величины по времени является скоростью изменения этой величины.

Если функция у = f(х) определена как в самой точке х, так и в некоторой её окрестности, и имеет производную в точке х, то эта функция непрерывна в точке х. Пример функции у= |х|, определённой в любой окрестности точки х = 0, непрерывной в этой точке, но не имеющей производной при х = 0, показывает, что из непрерывности функции в данной точке, вообще говоря, не вытекает существование в этой точке производной. Более того, существуют функции, непрерывные  в каждой точке  своей области определения, но не имеющие производной ни в одной точке этой области определения.

В случае, когда функция у = f(х) определена только справа или только слева от точки х (например, когда х является граничной точкой отрезка, на котором задана эта функция), вводятся понятия правой и левой производных функции у = f(х) в точке х. Правая производная функции у = f(х) в точке х определяется как предел (2) при условии, что Δх стремится к нулю, оставаясь положительным, а левая производная - как предел (2) при условии, что Δх стремится к нулю, оставаясь отрицательным. Функция у = f(х) имеет в точке х производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные друг другу правую и левую производные. Указанная выше функция у =|х| имеет в точке х = 0 правую производную, равную 1, и левую производную, равную -1, и поскольку правая и левая производные не равны друг другу, эта функция не имеет производной в точке х = 0. В классе функций, имеющих производную, операция  дифференцирования является  линейной, т. е. (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x), и (αf(x))’ = αf’(x) для любого числа α. Кроме того, справедливы следующие правила  дифференцирования:

Производные некоторых элементарных функций суть:

α - любое число,  х > 0;

n = 0,  ±1,  ±2,

n = 0,   ±1,   ±2,

Производная любой элементарной функции снова является элементарной функцией.

Если производная f’(х), в свою очередь, имеет производную в данной точке х, то производную функции f’(х) называют второй производной функции у = f(х)  в  точке х и обозначают одним из символов f’’(х), y’’, ÿ, d²f/dx², d²y/dx², D²f(x).

Для материальной точки, движущейся вдоль оси Оу по закону у = f(х), вторая производная представляет собой ускорение этой точки в момент времени х. Аналогично определяются производные  любого  целого  порядка n, обозначаемые  символами f⁽ⁿ⁾(x), y⁽ⁿ⁾, d⁽ⁿ⁾f/dx⁽ⁿ⁾, d⁽ⁿ⁾y/dx⁽ⁿ⁾, D⁽ⁿ⁾f(x).

Дифференциал. Функция у = f(х), область определения которой содержит некоторую окрестность точки х, называется дифференцируемой в точке х, если её приращение в этой точке, отвечающее  приращению аргумента  Δх, т. е. величину Δy = f(x + Δх) – f(x) можно представить в виде Δy = AΔх + αΔх, где А = А(х), α = α(x, Δх) → 0 при Δх → 0. При этом выражение АΔх называется дифференциалом функции f(х) в точке х и обозначается символом dy или df(х). Геометрически при фиксированном значении х и меняющемся приращении Δх дифференциал есть приращение ординаты касательной, т. е. отрезок РМ" (рис.). Дифференциал dy является функцией как точки х, так и приращения  Δх.  Дифференциал   называют главной линейной частью приращения функции, поскольку при фиксированном значении х величина dy является линейной функцией от Δх, а разность Δу - dy - бесконечно малой относительно Δх при Δх → 0. Для функции f(х) = х по определению dx = Δх, то есть дифференциал независимой переменной dx совпадает с её приращением Δх. Это позволяет переписать выражение для дифференциала в виде dy=Adx.

Для функции одной переменной понятие дифференциала тесно связано с понятием производной: для того чтобы функция у = f(х) имела в точке х дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную f’(х), при этом справедливо равенство dy = f’(х)dx. Наглядный смысл этого утверждения состоит в том, что касательная к кривой у = f(х) в точке с абсциссой х является не только предельным  положением  секущей, но также и прямой, которая в бесконечно малой окрестности точки х примыкает к кривой у = f(х) теснее, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А(х) = f’(х) и запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f’(х), но и как отношение дифференциалов функции и аргумента. В силу равенства dy =  f’(х)dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил для производных. Рассматриваются также дифференциалы второго и более высоких порядков.

Приложения. Дифференциальное  исчисление устанавливает связи между свойствами функции f(х) и её производных (или её дифференциалов), составляющие содержание основных теорем дифференциального исчисления. Среди этих теорем - утверждение о том, что все точки экстремума дифференцируемой функции f(х), лежащие внутри её области определения, находятся среди корней уравнения f’(х) = 0, и часто используемая формула конечных  приращений  (формула  Лагранжа) f(b) – f(a) = f’(ξ)(b – a), где a<ξ<b, а также Тейлора формула. Эти утверждения позволяют методами дифференциального исчисления провести исследование поведения функций, обладающих достаточной гладкостью (т. е. имеющих производные достаточно высокого порядка). Они позволяют установить степень гладкости, выпуклость и вогнутость, возрастание и убывание функций, найти их асимптоты, перегиба точки, вычислить кривизну кривой, выяснить характер её особых точек и т. д. Например, условие f’(х) > 0 влечёт за собой строгое возрастание функции, а условие f^’’(х) > 0 - её строгую выпуклость. Кроме того, дифференциальное исчисление позволяет вычислять различного рода пределы функций, в частности пределы отношений двух функций, представляющие собой неопределённости вида 0/0 или вида ∞/∞ (смотри Раскрытие неопределенностей). Особенно удобно дифференциальное исчисление для исследования элементарных функций, производные которых выписываются в явном виде.

Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Методы дифференциального исчисления применяются для исследования функций нескольких переменных. Для функции двух переменных u = f(х, у) её частной производной по х в точке М (х, у) называется производная этой функции по х при  фиксированном у, определяемая как

и обозначаемая одним из символов f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x или ∂f(x,y)’/∂x. Аналогично определяется и обозначается частная  производная  функции u = f(x,y) по y. Величина Δu = f(x + Δx, y + Δy) – f(x,y) называется полным приращением функции и в точке М (х, у). Если эту величину можно представить в виде

где А и В не зависят от Δх и Δу, а α стремится  к нулю при

то функция u = f(х, у) называется дифференцируемой в точке М (х, у). Сумму АΔх + ВΔу называют полным дифференциалом функции u = f(х, у) в точке М(х, у) и обозначают символом du. Так как А=f’х(х, у), В = f’у(х,у), а приращения Δх и Δу можно взять равными их дифференциалам dx и dy, то полный дифференциал du можно записать в виде

Геометрически дифференцируемость функции двух переменных u = f(х, у) в данной точке М (х, у) означает существование у её графика в этой точке касательной плоскости, а дифференциал этой функции представляет собой приращение аппликаты точки касательной плоскости, отвечающей приращениям dx и dy независимых переменных. Для функции двух переменных понятие дифференциала является значительно более важным и естественным, чем понятие частных производных. В отличие от функции одной переменной, для дифференцируемости функции двух переменных u = f(х, у) в данной точке М(х, у) не достаточно существования в этой точке конечных частных производных f’х(х, у), и f’у(х, у). Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции u = f(х, у) в точке М (х, у) заключается в существовании конечных частных производных f’х(х, у) и f’у(х, у) и в стремлении к нулю при

величины

Числитель этой величины получается, если сначала взять приращение функции f(х, у), отвечающее приращению Δх её первого аргумента, а затем взять приращение полученной при этом разности f(х + Δх, у) - f(х, у), отвечающее приращению Δу её вторых аргументов. Простым достаточным условием дифференцируемости функции u = f(х, у) в точке М(х, у) является существование непрерывных в этой точке частных производных f’х(х, у) и f’у(х, у).

Аналогично определяются частные производные высших порядков. Частные производные ∂²f/∂х² и ∂²f/∂у², у которых оба дифференцирования ведутся по одной переменной, называют чистыми, а частные производные ∂²f/∂х∂у и ∂²f/∂у∂х - смешанными. В каждой точке, в которой обе смешанные частные производные непрерывны, они равны друг другу. Эти определения и обозначения переносятся на случай большего числа переменных.

Исторический очерк. Отдельные задачи об определении касательных к кривым и о нахождении максимальных и минимальных значений переменных величин были решены математиками Древней Греции. Например, были найдены способы построения касательных к коническим сечениям и некоторым другим кривым. Однако разработанные античными математиками методы были далеки от идей дифференциального исчисления и могли применяться лишь в весьма частных случаях. К середине 17 века стало ясно, что многие из упомянутых задач вместе с другими (например, задача определения мгновенной скорости) могут быть решены при помощи одного и того же математического аппарата, при использовании производных и дифференциалов. Около 1666 года И. Ньютон разработал метод флюксий (смотри Флюксий исчисление). Ньютон рассматривал, в частности, две задачи механики: задачу об определении мгновенной скорости движения по известной зависимости пути от времени и задачу об определении пройденного за данное время пути по известной мгновенной скорости. Непрерывные функции времени Ньютон называл флюентами, а скорости их изменения - флюксиями. Таким образом, у Ньютона главными понятиями были производная (флюксия) и неопределённый интеграл (флюента). Он пытался обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, которая в то время была развита недостаточно.

В середине 1670-х годов Г. В. Лейбниц разработал удобные алгоритмы дифференциального исчисления. Основными понятиями у Лейбница являлись дифференциал как бесконечно малое приращение функции и определённый интеграл как сумма бесконечно большого числа дифференциалов. Он ввёл обозначения дифференциала и интеграла, термин «дифференциальное исчисление», получил ряд  правил дифференцирования, предложил удобную символику. Дальнейшее развитие дифференциального исчисление в 17 веке шло в основном по пути, намеченному Лейбницем; большую роль на этом этапе сыграли работы Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора и др.

Следующий этап в развитии дифференциального исчисления связан с работами Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (18 век). Эйлер впервые стал излагать дифференциальное исчисление как аналитическую дисциплину, независимо от геометрии и механики. Он вновь использовал в качестве основного понятия дифференциального исчисления производную. Лагранж пытался строить дифференциальное исчисление алгебраически, пользуясь разложениями функций в степенные ряды; он ввёл термин «производная»  и  обозначения  у’  и  f’(х). В начале 19 века была в основном решена задача обоснования дифференциального исчисления на основе теории пределов, главным образом благодаря работам О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса. Глубокий анализ исходных понятий дифференциального исчисления был связан с развитием теории множеств и теории функций действительных переменных в конце 19 - начале 20 века.

Лит.: История математики: В 3 т. М., 1970-1972; Рыбников К. А. История математики. 2-е изд. М., 1974; Никольский С. М. Курс математического анализа. 6-е изд. М., 2001: Зорич В. А. Математический анализ: В 2 часть 4-е изд. М., 2002; Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 3 т. 5-е изд. М., 2003-2006; Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. 8-е изд. М., 2003-2006; Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. 7-е изд. М., 2004. Ч. 1. 5-е изд. М., 2004. Ч. 2; Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. 3-е изд. М., 2004. Ч. 1. 2-е изд. М., 2004. Ч. 2; Ильин В. А., Куркина Л. В. Высшая математика. 2-е изд. М., 2005.