Калибровочные поля

КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ, квантовые поля, обладающие калибровочной симметрией (калибровочной инвариантностью). Примерами калибровочных полей служат скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля, а также Янга - Миллса поля, в частности поле глюонов в квантовой хромодинамике и поля W^± - и Z-бозонов в стандартной модели. К классу калибровочных полей относится и гравитационное поле.

Теория калибровочных полей определяется лагранжианом, который для калибровочных полей должен быть инвариантен (симметричен) относительно калибровочных преобразований этих полей. Калибровочные преобразования делятся на коммутативные (абелевы) и некоммутативные (неабелевы) в соответствии с тем, зависит ли результат двух последовательных калибровочных преобразований от их порядка. В квантовой электродинамике калибровочные преобразования абелевы, для остальных квантовых полей - неабелевы. В большинстве случаев лагранжиан выбирают так, чтобы соответствующая квантовая теория поля была перенормируемой (смотри Перенормировки). При этом оказывается, что перенормировка константы взаимодействия в абелевой теории калибровочных полей имеет характер, противоположный неабелевой теории: в первой эффективная константа взаимодействия растёт на малых пространственно-временных расстояниях, а во второй - убывает (смотри Асимптотическая свобода). Поэтому в неабелевых теориях калибровочных полей при описании явлений, в которых по той или иной причине определяющую роль играют малые расстояния, применяется теория возмущений по константе взаимодействия (так называемая слабая связь). Сравнение результатов таких вычислений с экспериментальными данными позволяет заключить, что теория калибровочных полей описывает эксперимент с высокой точностью.

Калибровочные  поля сами по себе в природе не наблюдаются, поскольку содержат лишние - калибровочные - степени свободы. Так, потенциалы электромагнитного поля и поля Янга - Миллса Α_μ(х) определены только с точностью до калибровочного преобразования, а метрический тензор g_μv в квантовой теории гравитации определён с точностью до общековариантных преобразований (смотри Калибровочная симметрия). Поэтому в большинстве вычислений наблюдаемых величин в теории калибровочных полей необходимо, прежде всего «фиксировать калибровку» полей, т. е. избавиться от лишних степеней свободы, от которых физические величины не зависят. Фиксировать калибровку можно многими способами (в зависимости от конкретной задачи выбор калибровки может быть более или менее удачен), но полностью «безобидной» фиксации калибровки, вероятно, не существует.

В неабелевой теории калибровочных полей фиксация калибровки во многих случаях приводит к необходимости вводить в теорию новые вспомогательные степени свободы - так называемые духи Фаддеева - Попова, вклад которых следует вычитать при вычислении наблюдаемых. Однако этот метод возможен, по-видимому, только в рамках теории возмущений по константе взаимодействия; вне рамок этой теории возникает трудность в виде калибровочных неоднозначностей и калибровочных копий (В. Н. Грибов, 1977), проявляющихся в том, что одному условию фиксации калибровки отвечает много различных калибровочных полей.

Развивая теорию калибровочных полей вне рамок теории возмущений (в области сильной связи), К. Вильсон (1974) и независимо А. М. Поляков (1974), а также Дж. Когут и Л. Саскинд (США, 1975) предложили соответственно евклидову и гамильтонову формулировки теории калибровочных полей «на решётке». Суть этой теории состоит в том, что непрерывное пространство заменяется дискретным (т. е. «решёткой»), а калибровочные поля компактифицируются, так что теория непрерывных и неограниченных полей аппроксимируется конечным (хотя и очень большим) набором переменных, принимающих ограниченные значения (смотри Решёточные теории поля). Аппроксимация становится точной в пределе малого шага решётки. В этом подходе нет необходимости фиксировать калибровочные степени свободы (хотя это и можно сделать) и появляется возможность изучать теорию методом компьютерного моделирования, в частности в областях, недоступных реальным экспериментам. Например, можно произвольно менять группу Ли, на которой основана неабелева теория калибровочных полей, изменять число полей материи и их массы, изучать поведение теории в необычных условиях, таких как высокие температуры и плотности вещества. Хотя «решёточные вычисления» на компьютере не являются строгим доказательством в традиционном понимании, они дали весомую информацию о теории калибровочных полей в области сильной связи, где обычная теория возмущений неприменима.

В другой теории калибровочных полей - квантовой теории тяготения (гравитации) также используется компьютерное моделирование разнообразных триангуляций искривлённого пространства.

Общее свойство теорий калибровочных полей (кроме квантовой электродинамики) состоит в том, что они взаимодействуют сами с собой, даже при отсутствии материи. Это следует из того, что уравнения движения (уравнения Эйлера - Лагранжа) нелинейны по полям. Поэтому для неабелевых калибровочных полей характерны нетривиальные солитоноподобные классические решения уравнений движения. В частности, в теории полей Янга-Миллса имеются решения нелинейных аналогов Максвелла уравнений в виде статических монополей Богомольного - Прасада - Саммерфильда (БПС, 1975-76), а также зависящих от мнимого времени инстантонов (А. А. Белавин, А. М. Поляков, Ю. С. Тюпкин и А. С. Шварц, 1975). Позднее (1998) были обнаружены решения, обобщающие инстантоны на ненулевые температуры, и оказалось, что эти инстантоны «состоят» из монополей. Физический смысл инстантонов в теории Янга - Миллса - это классические траектории полей в мнимом времени, описывающие подбарьерный переход (смотри Туннельный эффект) из одного минимума с нулевой потенциальной энергией полей в другой, причём в этих минимумах поле Янга - Миллса является «чистой калибровкой», A_k(x) = iU(x)∂U^-1(х)/∂х^k,  k= 1, 2, 3. Здесь U(х) - унитарные матрицы с единичным детерминантом, характеризуемые нетривиальным гомотопическим классом, т. е. числом «намоток» при обходе всего трёхмерного пространства; i - мнимая единица.

В квантовой теории калибровочных полей, флуктуирующих в пространстве и времени, классические решения представляют собой седловые (перевальные) точки функционального интеграла по калибровочным полям, поэтому они могут играть определяющую роль при описании различных явлений. Так, инстантоны в стандартной модели приводят к принципиальной возможности нарушения сохранения по отдельности числа лептонов и барионов (Г.’т Хофт, 1976), чем можно объяснить преобладание материи над антиматерией, возникшее спонтанно в процессе эволюции Вселенной (В. А. Кузьмин, В. А. Рубаков и М. Е. Шапошников, 1985).

В квантовой хромодинамике инстантоны играют существенную роль в важнейшем явлении сильных взаимодействий - спонтанном нарушении симметрии и спонтанном возникновении масс у лёгких кварков (Д. И. Дьяконов и В. Ю. Петров, 1984), а связанные с инстантонами монополи БПС объясняют, вероятно, другое свойство сильных взаимодействий - удержание цвета, или конфайнмент кварков, а также деконфайнмент кварков при температуре, выше некоторой критической. Эти соображения и соответствующие вычисления базируются на квазиклассическом подходе к теории калибровочных полей, правильность которого проверяется сравнением с экспериментом или с компьютерным моделированием «на решётке», но не является строго доказанной для большой константы взаимодействия.

Строгие математические методы в области сильной связи теории калибровочных полей пока неизвестны, и надо надеяться только на разработку методов, где искусственно создаётся «малый параметр», по которому можно развить теорию возмущений. Например, значительные упрощения возникают в теории калибровочных полей, построенной на группе Ли большого ранга N; на этом основан метод 1/N-разложения (Г.’т Хофт, 1974; Э. Уиттен, США, 1979). К этому же разряду относится метод, основанный на суперсимметричной модификации теории калибровочных полей (смотри Суперсимметрия), в котором предполагается, что данная теория отличается от своей суперсимметричной версии на малый параметр нарушения суперсимметрии. Суперсимметричные теории калибровочных полей обладают столь высокой симметрией, что в них можно получить много точных результатов. Например, в простейшей суперсимметричной модификации квантовой хромодинамики вакуумный конденсат глюино (аналог экспериментально известного конденсата кварков) вычисляется точно. Другой, ещё более интересный пример: суперсимметричная теория калибровочных полей с четырьмя суперзарядами оказывается эквивалентной некоторой струн теории, причём большая константа взаимодействия одной теории отвечает малой константе взаимодействия другой (Х. Малдасена, США, 1998). Работы многих авторов (В. А. Казаков и др., Л. Н. Липатов и др., К. Л. Зарембо и др.) свидетельствуют в пользу того, что и данная теория калибровочных полей, и соответствующая теория струн точно решаются при любой величине константы взаимодействия. Эти идеи позволяют надеяться на то, что как суперсимметричные, так и несуперсимметричные теории калибровочных полей можно будет изучать не только методом теории возмущений по константе взаимодействия, ставшим уже стандартным, но и в области сильной связи.

Поскольку стандартная модель и теория гравитации основаны на одном принципе (и та и другая представляют собой теорию калибровочных полей), возникает естественная мысль, что обе теории можно объединить в виде единой теории всех фундаментальных взаимодействий. Такое объединение, действительно, происходит в теории струн. Однако квантовая теория струн ещё не построена; неясен пока и механизм компактификации неизбежных «лишних» измерений пространства до наблюдаемых четырёх, а также механизм нарушения высокой симметрии струны до той симметрии, которая существует в природе. Поэтому рассматриваются и другие подходы к объединению теории гравитации и стандартной модели. В частности, квантовую теорию полей Янга - Миллса (на которой основана стандартная модель) можно тождественно переписать в терминах калибровочно-инвариантных переменных, которыми оказываются компоненты метрического тензора пространства дуальных полей, а лагранжиан для этих полей включает лагранжиан Эйнштейна-Гильберта, как в теории гравитации (Р. Анишетти и др., Индия, 2000; Д. И. Дьяконов и В. Ю. Петров, 2002). В этом подходе квантовые теории гравитации и полей Янга - Миллса становятся не только концептуально, но и практически близкими. В любом случае следует ожидать, что Великое объединение всех фундаментальных взаимодействий произойдёт в духе теории калибровочных полей.

Лит.: Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля. М., 1980; Волошин М. Б., Тер-Мартиросян К. А. Теория калибровочного взаимодействия элементарных частиц. М., 1984; Кройц М. Кварки, глюоны и решетки. М., 1987; Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. 2-е изд. М., 1988; Поляков А. М. Калибровочные поля и струны. Ижевск, 1999; Вайнберг С. Квантовая теория поля. М., 2004. Т. 2.