Картографические проекции

КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ,   математические способы отображения всей поверхности земного эллипсоида или его части на плоскости карты. Картографические проекции устанавливают соответствие между геодезическими координатами точек (широтой В и долготой L) и их прямоугольными координатами    (Х и У) на карте:

Х = f₁(В, L);     Y = f₂(В, L).

Конкретные реализации функций f₁, и f₂ часто сложны, их число бесконечно, и, следовательно, разнообразие картографических проекций неограниченно. Исходная аксиома картографических проекций состоит в том, что сферическую поверхность нельзя развернуть на плоскость без деформаций - сжатий и растяжений, различных по величине и направлению. Математическая картография изучает все виды искажений и разрабатывает методы построения проекций, в которых искажения имели бы или наименьшие (в каком-либо смысле) значения, или заранее заданное распределение. Разные картографические проекции могут иметь следующие виды искажений: искажения длин - масштаб длин и расстояний непостоянен в разных точках карты и по разным направлениям; искажения площадей - масштаб площадей в разных точках карты различен, что нарушает размеры объектов; искажения углов - углы между направлениями на карте искажены относительно углов на местности; искажения форм - фигуры на карте деформированы и не подобны фигурам на местности, что является следствием искажения углов.

В любой картографической проекции различают главный масштаб длин и площадей - отношение, показывающее степень уменьшения размеров эллипсоида (шара) относительно его изображения на карте, и частные масштабы - отношение бесконечно малого отрезка (или площади), изображённого на карте, к соответствующей бесконечно малой величине на эллипсоиде (шаре). Картографические анимации имеют ещё и временной масштаб, т. е. отношение времени демонстрации карты к реальному времени изображаемого процесса.

По характеру искажений, возникающих при переходе от сферической поверхности к плоскости, картографические проекции подразделяют на равновеликие, которые сохраняют размеры площадей, равноугольные, оставляющие без искажений углы и формы контуров (ранее их называли конформными), и произвольные, где площади и углы искажены в разных соотношениях. Частный случай произвольных картографических проекций - равнопромежуточные проекции, в которых масштаб постоянен по одному из главных направлений (по меридиану или параллели). Смотри карты Картографических проекций.

Мерой деформаций в картографической проекции служит эллипс искажений (или индикатриса Тиссо). Любая бесконечно малая окружность на земном шаре (эллипсоиде) предстаёт на карте бесконечно малым эллипсом, размеры и форма которого отражают искажения длин, площадей и углов. Длина и ориентировка большой оси эллипса искажений соответствуют направлению наибольшего растяжения (а) в данной точке, а малая ось - наибольшего сжатия (b), отрезки вдоль меридиана и параллели характеризуют частные масштабы вдоль них (m и n).

Искажения на картах можно также показывать с помощью особых изолиний - изокол, т. е. линий равных искажений длин, площадей, углов или форм.

В зависимости от положения оси, используемой при проектировании системы сферических координат, различают картографические проекции нормальные (ось сферическая координат совпадает с осью вращения Земли), поперечные (ось сферических координат лежит в плоскости экватора) и косые (ось сферических координат расположена под углом к плоскости экватора).

По виду нормальной сетки меридианов и параллелей выделяют цилиндрические картографические проекции, в которых меридианы и параллели нормальной сетки являются прямыми, взаимно перпендикулярными линиями; иначе говоря, земной шар (эллипсоид) как бы проектируют на вспомогательную поверхность касательного или секущего цилиндра, который потом разворачивают в плоскость. В конических картографических проекциях поверхность земного шара также проектируют на вспомогательную поверхность касательного или секущего конуса, поэтому в нормальной конической проекции меридианы - это прямые, исходящие из точки полюса, а параллели - дуги концентрических окружностей. В нормальных (полярных) азимутальных картографических проекциях поверхность земного шара переносят на вспомогательную плоскость, перпендикулярную оси вращения Земли, параллели в ней - концентрические окружности, а меридианы - диаметры этих окружностей. В этой проекции всегда картографируют полярные области. Если плоскость проекции перпендикулярна к плоскости экватора, то получается поперечная (экваториальная) азимутальная проекция, которую всегда используют для карт полушарий. Вспомогательные касательные поверхности дают одну общую линию или точку для эллипсоида (шара) и плоскости карты, где искажения отсутствуют. В случае секущей поверхности появляются две общие линии. В псевдоцилиндрических картографических проекциях параллели - прямые (как и в цилиндрических проекциях), средний меридиан - перпендикулярная им прямая, а остальные меридианы - кривые, увеличивающие кривизну по мере удаления от среднего меридиана. В псевдоконических картографических проекциях все параллели предстают дугами концентрических окружностей (как в нормальных конических), средний меридиан - прямая линия, а остальные меридианы - кривые, причём кривизна их возрастает с удалением от среднего меридиана. В нормальных поликонических картографических проекциях параллели представлены дугами эксцентрических окружностей, а меридианы - кривыми, симметричными относительно прямого среднего меридиана. Полярные псевдоазимутальные картографические проекции - это видоизменённые азимутальные проекции, в которых параллели изображены в виде концентрических окружностей, а меридианы - в виде кривых линий, симметричных относительно одного или двух прямых меридианов.

Компьютерные технологии позволяют получать эти и множество произвольных картографических проекций любого вида. Их свойства задают в соответствии с особенностями картографируемой территории и её положением на земном шаре, назначением и способом использования карты, предпочтительным распределением искажений и т.п. Многогранные картографические проекции получают, проектируя земной шар на поверхность многогранника. Чаще всего каждая грань представляет собой равнобочную трапецию, хотя возможны и иные варианты (например, шестиугольники, квадраты, ромбы). Разновидностью многогранных являются многополосные картографические проекции, причём полосы могут «нарезаться» по меридианам и по параллелям. Такие проекции удобны тем, что искажения в пределах каждой грани или полосы невелики, поэтому их всегда используют для многолистных карт. Топографические и обзорно-топографические карты создают исключительно в многогранной проекции, и рамка каждого листа представляет собой сферическую трапецию, образованную линиями меридианов и параллелей. Однако блок листов карт нельзя совместить по общим рамкам без разрывов.

В некоторых случаях для уменьшения искажений используют   разорванные картографические проекции, где непрерывность изображения нарушается на океанах, если содержание карты приурочено к материкам (например, карта населения, сельскохозяйственная  карта), или на материках, если карта характеризует только океаны (например, геологическое строение дна Мирового океана).

Многочисленность картографических проекций объясняется разнообразием задач, для которых служат карты (например, для морских и аэронавигационных карт нужны равноугольные, а для кадастровых измерений - равновеликие картографические проекции), географическим положением территории (полярные области изображают в нормальных картографических проекциях, а полушария - в поперечных азимутальных картографических проекциях), назначением карт (разные проекции нужны для школьных и научно-справочных карт). Созданы специальные электронные атласы картографических проекций, с помощью которых можно отыскать подходящую картографическую проекцию, оценить её свойства, а при необходимости провести те или иные модификации или преобразования. Выбор вариантов очень велик, но всё же существуют некоторые предпочтительные и наиболее традиционные картографические проекции.

Карты мира обычно составляют в цилиндрических, псевдоцилиндрических и поликонических картографических проекциях. Для уменьшения искажений часто используют секущие цилиндры, а псевдоцилиндрические картографические проекции дают с разрывами на океанах. Карты полушарий всегда строят в азимутальных картографических проекциях. Для Западного и Восточного полушарий используют поперечные (экваториальные), для Северного и Южного полушарий - нормальные (полярные), а в других случаях (например, для материкового и океанических полушарий) - косые азимутальные картографические проекции. Для карт материков Европы, Азии, Северной Америки, Южной Америки, Австралии с Океанией чаще всего применяют равновеликие косые азимутальные картографические проекции, для Африки - поперечные, а для Антарктиды - нормальные азимутальные картографические проекции. Карты России в целом составляют чаще всего в нормальных конических равнопромежуточных картографических проекциях с секущим конусом, но в некоторых случаях - в поликонических, произвольных и в других картографических проекциях. Однако сетка конических картографических проекций не всегда удобна. Например, на картах России для начальной школы требуется картографическая проекция, в которой меридианы сходятся в точке полюса, а самая северной точка суши (мыс Челюскин) располагается ближе всего к северной рамке. Карты отдельных стран, административных областей, провинций, штатов выполняют в косых равноугольных и равновеликих конических или азимутальных картографических проекциях, но многое зависит от конфигурации самой территории и её положения на земном шаре. Для небольших по площади районов задача выбора картографических проекций теряет актуальность, можно использовать разные равноугольные проекции, поскольку искажения площадей на малых территориях малоощутимы. Топографические карты России создают в поперечно-цилиндрической проекции Гаусса - Крюгера, а карты США и многих других западных стран - в универсальной поперечно-цилиндрической проекции Меркатора (сокращенно UTM). Обе проекции близки по своим свойствам, и та и другая по существу являются многополосными. Морские и аэронавигационные карты выполняют исключительно в цилиндрической проекции Меркатора, а тематические карты морей и океанов создают в самых разнообразных, иногда довольно сложных проекциях. Например, для совместного показа Атлантического и Северного Ледовитого океанов применяют особые проекции с овальными изоколами, а для изображения Мирового океана - равновеликие проекции с разрывами на материках.

В любом случае при выборе проекции, в особенности для тематических карт, следует иметь в виду, что обычно искажения на карте минимальны в центре и быстро возрастают к краям. Кроме того, чем мельче масштаб карты и обширнее пространственный охват, тем большее внимание приходится уделять математическим факторам выбора картографических проекций, и, наоборот, для малых территорий и крупных масштабов более существенными становятся географические факторы.

Краткие исторические сведения. Первые карты с использованием сетки меридианов и параллелей создали греческие учёные Эратосфен, Гиппарх. Клавдий Птолемей в «Руководстве по географии» описал принципы создания некоторых конических проекций. Великие географические открытия послужили значительному развитию картографии и способствовали созданию новых картографических проекций. Большой вклад в теорию проекций внесли фламандские картографы: Г. Меркатор, предложивший цилиндрическую (Меркатора) проекцию для навигационных карт, А. Ортелий, Я. Янсон (1588-1664) и др. Теория проекций всегда рассматривалась как важнейшая научная проблема картографии. Свой вклад в разработку картографических проекций внесли известные математики И. Ламберт, Л. Эйлер, Ж. Лагранж, К. Гаусс. В середине 19 века французский исследователь А. Тиссо создал общую теорию искажений картографических проекций. В России теорией картографических проекций занимались А. П. Болотов (1803-1853), Ф. И. Шуберт, П. Л. Чебышев, Д. А. Граве, Д. И. Менделеев, В. В. Витковский (1856-1924), Ф. Н. Красовский, В. В. Каврайский, Г. А. Гинзбург (1905-1975), Н. А. Урмаев и др.

Лит.: Витковский В. В. Картография. Теория картографических проекций. СПб., 1907; Каврайский В. В. Математическая картография. М.; Л., 1934; Урмаев Н. А. Методы изыскания новых картографических проекций. М., 1947; Гинзбург Г. А. Картографические проекции. М., 1951; Соловьев М. Д. Математическая картография. М., 1969; Сорокин А. И. Морская картография. М., 1985; Вахрамеева Л. А., Бугаевский Л. М., Казакова З. Л. Математическая картография. М., 1986; Серапинас Б. Б. Математическая картография. М., 2005.