Корреляционная функция

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ.

1) В случайных процессах определяет статистическую связь между значениями изменяющихся во времени и/или пространстве физических величин макроскопической системы.

Случайные изменения некоторой скалярной физической величины (например, тока в электрической цепи) можно описывать функцией ξ(t). Простейшая временная корреляционной функции этого процесса определяется как

R(t₁, t₂) = ‹(ξ(t₁) - ‹ξ(t₁)›)(ξ(t₂) - ‹ξ(t₂)›)›. (1)

Здесь угловые скобки означают усреднение по ансамблю реализаций, ‹ξ(t)› - среднее значение функции ξ(t). Аналитическое выражение для корреляционной функции можно получить, зная двумерную функцию распределения плотности вероятности w₂ (ξ₁, ξ₂):

R(t₁, t₂) = ∫ξ₁ξ₂w₂(ξ₁,ξ₂)dξ₁dξ₂, (2)

где ξ₁ = ξ(t₁), ξ₂ = ξ(t₂).

Для стационарных случайных процессов ‹ξ(t)› не зависит от времени [для простоты будем считать ‹ξ(t)› = 0], а корреляционную функцию R(t₁, t₂) = R (τ = t₂ - t₁) = R(-τ) является чётной функцией разности времён. Стационарными случайными процессами являются флуктуации физических величин, возникающие в системе, находящейся в равновесных условиях; такие условия реализуются во многих экспериментальных ситуациях. Максимальное значение корреляционная функция R(τ) имеет при τ = 0; это значение, равное R(0) = σ², называется дисперсией случайного процесса. При увеличении τ статистическая зависимость между ξ(t) и ξ(t + τ) становится всё более слабой и R(∞) = 0. Характерный интервал времени, при котором происходит заметный спад значения корреляционной функции в несколько раз, принято называть временем корреляции. Корреляционная функция непосредственно связана со спектром флуктуаций G(ω) соотношением Винера - Хинчина: R(τ) = ∫ G(ω)e^iωtdt (ω - частота флуктуаций). В реальных ситуациях усреднение по набору всевозможных реализаций случайного процесса часто можно заменить временным усреднением по одной реализации за интервал времени, достаточно большой по сравнению с временем корреляции. Случайные процессы, которые обладают этим свойством, называют эргодическими.

Наряду с корреляционной функцией (1), часто используют многомерные (или многоточечные) корреляционные функции, зависящие более чем от двух моментов времени:

R(t₁, t₂, ..., t_n) = ‹ξ(t₁)ξ(t₂) ... ξ(t_n)›. (3)

Многомерные корреляционные функции чётного порядка (порядок определяется числом сомножителей) гауссовского случайного процесса выражаются через всевозможные парные корреляционные функции (1). Так, в корреляционной спектроскопии (спектроскопии рассеянного света) применяют корреляционные функции интенсивности света (корреляционные функции четвёртого порядка по полю), которая определяется корреляционной функцией второго порядка (1).

Связь флуктуаций векторных и тензорных величин (например, флуктуации скорости турбулентного потока и тензора диэлектрической проницаемости среды) описывают с помощью корреляционной матрицы. Так, корреляционная матрица B_jk напряжённости электрического поля Е световой волны имеет вид:

B_jk(t₁,t₂)=(E_j(t₁)E_k^*(t₂)).                      (4)

Здесь Ej(t) - комплексные функции, Е = Re Е; j, k=х,у,z - компоненты поля в декартовых координатах. Диагональные элементы матрицы представляют собой средние интенсивности, а недиагональные элементы зависят от амплитуд и фаз компонент поля. Корреляционную матрицу (4) размером 2х2, элементы которой рассчитаны для ортогональных компонент электрического поля в плоскости, перпендикулярной направлению распространения световой волны, называют матрицей когерентности.

Флуктуации величин по пространству характеризуются пространственными корреляционными функциями, например:

R(r₁,r₂) = (ξ(r₁)ξ(r₂)),                           (5)

где ξ(r) - случайное трёхмерное поле. При этом случайное поле статистически однородно, если корреляционная функция R(r₁,r₂) = R(ρ=r₂-r₁). Если же R(ρ) зависит только от модуля ρ, то однородное случайное поле статистически изотропно в пространстве. Характерный масштаб существенного уменьшения корреляционной функции в пространстве называют радиусом корреляции. Временная (1) и пространственная (5) корреляционные функции являются частными случаями пространственно-временной корреляционной функции, характеризующей связь флуктуаций физических величин в пространстве и во времени. Тем не менее, раздельное рассмотрение флуктуаций физических величин во времени и в пространстве во многих случаях адекватно описывает эксперимент.

В квантовой теории состояние полей удобно описывать эрмитовой матрицей (оператором плотности) р, для которой её след (сумма диагональных элементов) равен единице. Сугубо квантовые свойства полей могут проявляться в квантовых корреляционных функциях порядка выше второго. Так, эффект антигруппировки фотонов обнаружен при измерении корреляционной функции интенсивности (корреляционная функция четвёртого порядка). Неклассические, квантовые корреляции ярко проявляются в перепутанных квантовых состояниях (смотри Квантовая оптика) и нарушениях неравенства Белла (смотри Квантовые парадоксы).

2) В статистической физике корреляционная функция определяет статистическую связь между положением частиц (атомов, ионов, молекул).

Для описания положения частиц в пространстве используют функции распределения их переменных: одночастичную функцию f₁(r,р) (r - пространственная координата, р - импульс частицы), двухчастичную f₂(r₁,р₁; r₂,р₂) и т.д., которые также характеризуют статистическую связь частиц. От этих функций можно перейти к функциям f₁(r), f₂(r₁,r₂) и т.д. (например, интегрируя по импульсам), которые называются корреляционными функциями. Величина f₂(r₁,r₂)d³r₁d³r₂ связана с вероятностью обнаружения одной частицы с координатой r₁ в объёме d³r₁ и другой частицы с координатой r₂ в объёме d³r₂. Функция f₂(r₁,r₂) определяет пространственную корреляционную функцию флуктуации плотности среды. Для невзаимодействующих между собой частиц f₂(r₁,r₂)⁼f₁(r₁)f₁(r₂).  Поэтому непосредственно корреляцию частиц характеризует функция g(r₁,r₂) = f₂(r₁,r₂) - f₁(r₁)f₁(r₂), называемая парной корреляционной функцией. Значение g(r₁,r₂) определяется потенциалом взаимодействия соседних частиц; при g(r₁,r₂) = 0 положения частиц статистически независимы. Парная корреляционная функция имеет особое значение, так как в случае связи частиц, зависящей только от их расстояния, удаётся получить уравнение состояния и энергию физической системы. В общем случае функции f₁, f₂, f₃, ... удовлетворяют зацепляющей цепочке уравнений (Боголюбова цепочке уравнений), решение которой довольно сложно. Поэтому её обрывают и делают замкнутой, исходя из определённых физических предположений.

Квантовым аналогом корреляционной функции в статистической физике является матрица плотности, полученная взятием следа от матрицы плотности всей системы по переменным частиц, исключаемых из рассмотрения. Свойства такой матрицы плотности зависят от статистики частиц (Бозе - Эйнштейна или Ферми - Дирака).

Лит.: Исихара А. Статистическая физика. М., 1973; Рытов С. М., Кравцов Ю. А., Татарский В. И. Введение в статистическую радиофизику. М., 1978. Ч. 2: Случайные поля; Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М., 1981; Климонтович Ю. Л. Статистическая физика. М., 1982; Ландау Л. Д., Лифшиц Ε. М. Статистическая физика. 5-е изд. М., 2001.