Аксиоматическая Теория Множеств

АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ направление в математической логике, занимающееся изучением аксиоматическим методом объектов теории множеств.

Под аксиоматической теорией множеств также понимается любая конкретная система, формализующая теорию множеств. Аксиоматическая теория множеств возникла в начале 20 века в Европе в связи с парадоксами теории множеств, показавшими, что наивная теория множеств приводит к противоречиям. Устранение парадоксов оказалось возможным только на пути аксиоматического ограничения принципа, состоящего в том, что всякое свойство определяет множество всех объектов, обладающих этим свойством. Различные ограничения приводят к различным вариантам аксиоматической теории множеств.

Первая и наиболее известная из аксиоматических теорий множеств — теория Цермело—Френкеля, определяющая построение множеств шаг за шагом, т. е. на каждом конечном или трансфинитном шаге рассматриваются только те множества, все элементы которых уже построены на предшествующих шагах. Понятие трансфинитного шага также находит в этой теории строгое определение. Эта теория формулируется в Є-языке, то есть в языке с единственным исходным неопределяемым символом Є принадлежности: хЄХ понимается как «х есть элемент множества Х». Множество Y называется подмножеством множества Х, если каждый элемент множества Υ принадлежит и множеству Х (обозначается YЄХ).

Ключевыми в теории Цермело-Френкеля (теории ZF) являются следующие аксиомы.

1) Аксиома экстенсиональности (объёмности), утверждающая, что любые два множества, содержащие одни и те же элементы, равны друг другу.

2) Аксиома выделения, утверждающая, что совокупность всех элементов данного множества, удовлетворяющих определённому свойству, является множеством.

3) Аксиома бесконечности, утверждающая существование бесконечного множества определённого вида, именно, непустого множества Х такого, что хЄХ=>{х}ЄХ, где {х} - множество, единственным элементом которого является х.

4) Аксиома степени, утверждающая, что совокупность Р(Х) всех подмножеств данного множества является множеством.

5) Аксиома подстановки, утверждающая, что если для каждого элемента х данного множества Х каким-то образом задано множество f(х), то совокупность {f(х):хЄХ} всех так определённых множеств f(х) является множеством.

6) Аксиома регулярности, утверждающая, что каждое непустое множество Х содержит Є-минимальный элемент х, т. е. х не содержит элементов множества Х.

К этой системе может присоединяться аксиома выбора АС, утверждающая, что для любого множества Х, состоящего из непустых попарно не имеющих общих элементов множеств х, существует множество Υ, имеющее ровно один общий элемент с каждым хЄХ. Расширенная таким образом система обозначается ZFC.

Аксиомы 1-4 и аксиома выбора были введены Э. Цермело в 1908 году; вместе с некоторыми аксиомами технического характера они образуют аксиоматическую теорию множеств Цермело Z или ZC (соответственно, в отсутствии или присутствии аксиомы выбора). Аксиома 5 была введена А. Френкелем и норвежским математиком Т. Сколемом в 1922 году, аксиома 6 - Дж. фон Нейманом в 1923.

К теориям Z и ZF примыкают теория типов, соответствующая первым ω + ω шагам описанной выше схемы трансфинитного построения множеств, где ω первое трансфинитное число (равное порядковому типу множества всех натуральных чисел), и теория классов фон Неймана - Бернайса - Гёделя NBG, в которой вместе с множествами разрешается рассматривать и классы, т. е. совокупности множеств, которые сами не являются множествами (например, класс всех множеств); формально классы отличаются от множеств тем, что они не являются элементами других классов (и множеств). На совершенно иной идее построена аксиоматическая теория множеств Куайна NF, в которой требуется, чтобы все переменные формулы, выражающей рассматриваемое свойство, могли быть индексированы так, что индекс у был ровно на единицу больше индекса х всякий раз, когда выражение хЄу встречается в этой формуле.

Развитие аксиоматической теории множеств показало, что объекты содержательной математики могут рассматриваться как множества, соответственно каждое утверждение содержательной математики может быть сформулировано как утверждение о множествах, и, наконец, каждое математически корректное доказательство может быть формализовано как доказательство в теории ZFC (в большинстве случаев достаточной является теория ZC). В этом смысле аксиоматическая теория множеств ZFC является аксиоматическим базисом современной математики.

Аксиоматическая теория множеств позволила доказать формальную неразрешимость, т. е. невозможность получить ответ «да» или «нет» на поставленный вопрос, для таких проблем, как проблема континуума, проблема измеримости и ряд других проблем в дескриптивной теории множеств.

Лит.: Гедель К. Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств // Успехи математических наук. 1948. Т. 3. Вып. 1; Новиков П. С. О непротиворечивости некоторых положений дескриптивной теории множеств // Труды математического института Академии Наук СССР. 1951. Т. 38; Quine W. О. van. Set theory and its logic. Camb., 1963; Френкель А. А., БарХиллел И. Основания теории множеств. М., 1966; Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. М., 1969; Справочная книга по математической логике. М., 1982. Ч. 2: Теория множеств.